Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,2,3)

B(-1,0,4)

.

a) [1,25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento $\overline{AB}$ en tres partes iguales.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto

A

y es perpendicular al segmento

\overline{AB}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,\, -2,\, 1), \qquad \lVert\vec{AB}\rVert = 3\;}

\boxed{\;P_{1} = A+\tfrac13\vec{AB} = \left(\tfrac13,\, \tfrac43,\, \tfrac{10}{3}\right)\;}

\boxed{\;P_{2} = A+\tfrac23\vec{AB} = \left(-\tfrac13,\, \tfrac23,\, \tfrac{11}{3}\right)\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n} = \vec{AB}: \quad -2(x-1)-2(y-2)+(z-3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x+2y-z-3 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Los dos puntos buscados están sobre $\overline{AB}$ a un tercio y a dos tercios del recorrido desde $A$ :

P_{1} = A+\frac13\vec{AB} \qquad P_{2} = A+\frac23\vec{AB}

(Comprobación natural: $P_{1}$ debe ser el punto medio de $\overline{AP_{2}}$ , y $P_{2}$ el de $\overline{P_{1}B}$ .)

b) Plano perpendicular al segmento $\Rightarrow$ su normal es $\vec{AB}$ , y pasa por $A$ .

Desarrollo

El vector.

\vec{AB} = (-1-1,\; 0-2,\; 4-3) = (-2,\, -2,\, 1)

a) Los puntos de trisección.

P_{1} = A+\frac13\vec{AB} = \left(1-\frac23,\; 2-\frac23,\; 3+\frac13\right) = \left(\frac13,\; \frac43,\; \frac{10}{3}\right)

P_{2} = A+\frac23\vec{AB} = \left(1-\frac43,\; 2-\frac43,\; 3+\frac23\right) = \left(-\frac13,\; \frac23,\; \frac{11}{3}\right)

Comprobaciones.

\vec{AP_{1}} = \left(-\frac23,-\frac23,\frac13\right) = \frac13\vec{AB} \;\checkmark

\vec{P_{1}P_{2}} = \left(-\frac23,-\frac23,\frac13\right) = \vec{AP_{1}} \;\checkmark \qquad \vec{P_{2}B} = \left(-\frac23,-\frac23,\frac13\right) \;\checkmark

Los tres tramos son iguales: el segmento queda dividido en tres partes de la misma longitud.

(Y la longitud de cada una es $\;\frac{\lVert\vec{AB}\rVert}{3} = \frac{\sqrt{4+4+1}}{3} = \frac{3}{3} = 1$ .)

b) El plano perpendicular a $\overline{AB}$ por $A$ . Su normal es

\vec{AB} = (-2,-2,1)

-2\,(x-1)-2\,(y-2)+1\,(z-3) = 0

-2x+2-2y+4+z-3 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x-2y+z+3 = 0

Cambiando de signo:

\pi \equiv 2x+2y-z-3 = 0

Comprobación.

A(1,2,3)

\;2+4-3-3 = 0

\;\checkmark

(Y $B(-1,0,4)$ da $\;-2+0-4-3 = -9\neq0$ : $B$ no está en el plano, como debe ser.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los puntos de trisección son $A+\frac13\vec{AB}$ y $A+\frac23\vec{AB}$ , no $\frac{A+B}{3}$ ni nada parecido. Piensa en términos de vector y fracción del recorrido.

Comprueba que los tres tramos $\vec{AP_{1}}$ , $\vec{P_{1}P_{2}}$ y $\vec{P_{2}B}$ son el mismo vector: si no lo son, algún punto está mal.

"Perpendicular al segmento" $\Rightarrow$ el normal del plano es $\vec{AB}$ . Puedes cambiar el signo de toda la ecuación para dejarla más limpia: es el mismo plano.