Áreas, volúmenes y distancias

El lado conocido.$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-4,\ 2,\ 0) \;\Longrightarrow\; \lVert\overrightarrow{AB}\rVert^{2} = 16 + 4 + 0 = 20$$(el lado del triángulo mide $\sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$).

El punto genérico del plano $OXZ$ (el de ecuación $y=0$) es $P(x,\,0,\,z)$. Las dos condiciones, en forma cuadrática:$$\lVert\overrightarrow{PA}\rVert^{2} = (4-x)^{2} + 0 + z^{2} = 20 \qquad (1)$$$$\lVert\overrightarrow{PB}\rVert^{2} = x^{2} + (2-0)^{2} + z^{2} = x^{2} + 4 + z^{2} = 20 \qquad (2)$$De (2):$$x^{2} + z^{2} = 16$$Llevándolo a (1), tras desarrollar el cuadrado:$$x^{2} - 8x + 16 + z^{2} = 20 \;\Longrightarrow\; \underbrace{\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)}_{=\,16} - 8x + 16 = 20$$$$16 - 8x + 16 = 20 \;\Longrightarrow\; -8x = -12 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3}{2}$$Y volviendo a $x^{2}+z^{2}=16$:$$z^{2} = 16 - \frac{9}{4} = \frac{55}{4} \;\Longrightarrow\; z = \pm\frac{\sqrt{55}}{2} \approx \pm 3{,}71$$Hay, por tanto, dos puntos:$$P_{1}\left(\frac{3}{2},\ 0,\ \frac{\sqrt{55}}{2}\right) \qquad\text{y}\qquad P_{2}\left(\frac{3}{2},\ 0,\ -\frac{\sqrt{55}}{2}\right)$$Comprobación (con $P_{1}$; para $P_{2}$ es idéntica porque $z$ solo aparece al cuadrado):$$\lVert\overrightarrow{P_{1}A}\rVert^{2} = \left(4 - \frac{3}{2}\right)^{2} + \frac{55}{4} = \frac{25}{4} + \frac{55}{4} = \frac{80}{4} = 20$$$$\lVert\overrightarrow{P_{1}B}\rVert^{2} = \frac{9}{4} + 4 + \frac{55}{4} = \frac{64}{4} + 4 = 20$$Los tres lados miden $\sqrt{20}$: el triángulo es equilátero.

Interpretación geométrica: los dos puntos son simétricos respecto del plano $OXY$, uno "por encima" y otro "por debajo". Tiene sentido: el segmento $AB$ está en el plano $z=0$, y su mediatriz dentro del plano $OXZ$ es una recta vertical, que corta a la esfera de radio $2\sqrt{5}$ en dos puntos.