Opción B · Ejercicio 4. Considera la recta r definida por r \equiv \begin{cases} x+y = 2 \\ y+z = 0\end{cases} y la recta s que pasa por los puntos A(2,1,0) y B(1,0,-1). a) [1 punto] Estudia la posición relativa de ambas rectas. b) [1,5 puntos] Determina un punto C de la recta r tal que los segmentos \overline{CA} y \overline{CB} sean perpendiculares.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2009 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x+y = 2 \\ y+z = 0\end{cases}

y la recta

s

que pasa por los puntos

A(2,1,0)

B(1,0,-1)

.

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de ambas rectas.

b) [1,5 puntos] Determina un punto

C

de la recta

r

tal que los segmentos

\overline{CA}

\overline{CB}

sean perpendiculares.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (1,-1,1), \ P_{0}(2,0,0); \ \ \vec v = (-1,-1,-1)\;}

\boxed{\;\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{P_{0}A}\bigr) = 0 \Rightarrow \textbf{se cortan en } \left(\tfrac32,\tfrac12,-\tfrac12\right)\;}

\boxed{\;C(\lambda) = (2+\lambda,-\lambda,\lambda): \ \vec{CA}\cdot\vec{CB} = \lambda^{2}+\lambda\;}

\boxed{\;\lambda = 0 \Rightarrow C_{1}(2,0,0); \qquad \lambda = -1 \Rightarrow C_{2}(1,1,-1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Criterio del producto mixto: si los directores no son proporcionales, se calcula $\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{P_{0}A}\bigr)$ . Si vale $0$ , las rectas se cortan; si no, se cruzan.
b) Con $C$ genérico de $r$ , la condición " $\overline{CA}\perp\overline{CB}$ " es

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0

y sale una ecuación de segundo grado en el parámetro: puede haber dos soluciones.

Desarrollo

Datos de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,1,0)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right| = (1,\, -1,\, 1)

Un punto: con

y = 0

\;x = 2

z = 0

, luego

P_{0}(2,\,0,\,0)

.

Datos de $s$ .

\vec v = \vec{AB} = B-A = (-1,\, -1,\, -1) \;\sim\; (1,\,1,\,1)

a) La posición relativa.

¿Paralelas?

\;(1,-1,1)

(1,1,1)

no son proporcionales: se cortan o se cruzan.

\vec{P_{0}A} = A-P_{0} = (0,\, 1,\, 0)

\det\bigl(\vec u,\vec v,\vec{P_{0}A}\bigr) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix}

Desarrollando por la tercera fila (dos ceros):

= -1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1\end{vmatrix} = -1\,(-1+1) = 0

\textbf{Las rectas se cortan} \ \text{(son coplanarias y no paralelas)}

El punto de corte. Punto genérico de

s

\;(2+t,\; 1+t,\; t)

. En la primera ecuación de

r

(2+t)+(1+t) = 3+2t = 2 \;\Longrightarrow\; t = -\frac12

Y la segunda se cumple:

\;\left(1-\frac12\right)+\left(-\frac12\right) = 0

\;\checkmark

\text{Corte: } \left(\frac32,\; \frac12,\; -\frac12\right)

b) El punto $C$ . Punto genérico de

r

C(\lambda) = P_{0}+\lambda\vec u = (2+\lambda,\; -\lambda,\; \lambda)

\vec{CA} = A-C = (2-2-\lambda,\; 1+\lambda,\; -\lambda) = (-\lambda,\; 1+\lambda,\; -\lambda)

\vec{CB} = B-C = (1-2-\lambda,\; -\lambda,\; -1-\lambda) = (-1-\lambda,\; -\lambda,\; -1-\lambda)

La condición de perpendicularidad.

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = (-\lambda)(-1-\lambda)+(1+\lambda)(-\lambda)+(-\lambda)(-1-\lambda)

= \bigl(\lambda+\lambda^{2}\bigr)-\bigl(\lambda+\lambda^{2}\bigr)+\bigl(\lambda+\lambda^{2}\bigr) = \lambda^{2}+\lambda

\lambda^{2}+\lambda = \lambda\,(\lambda+1) = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

Hay dos soluciones.

\lambda = 0: \ C_{1}(2,\,0,\,0) \qquad \lambda = -1: \ C_{2}(1,\,1,\,-1)

Comprobaciones.

C_{1}: \ \vec{CA} = (0,1,0), \ \vec{CB} = (-1,0,-1) \;\Longrightarrow\; \vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0 \;\checkmark

C_{2}: \ \vec{CA} = (1,0,1), \ \vec{CB} = (0,-1,0) \;\Longrightarrow\; \vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El producto mixto nulo significa coplanarias: si además los directores no son paralelos, las rectas se cortan. Vale la pena hallar el punto de corte para redondear la respuesta.

En b), la condición $\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0$ da una ecuación de segundo grado: espera dos soluciones y dalas las dos. Quedarse con una deja medio apartado sin hacer.

Cuidado con el sentido de los vectores: $\vec{CA} = A-C$ (desde $C$ hacia $A$ ). Usar $C-A$ cambiaría los signos, aunque en este caso el producto escalar no varíe.