Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2024 · Reserva 3
Enunciado
Ejercicio 7 (bloque D). Considera las rectasr≡x=y+a=z+12ys≡{x−2y=3ax+z=2r \equiv x = y + a = \frac{z+1}{2} \qquad\text{y}\qquad s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}a) [1,25 puntos] Calcula aa para que las rectas se corten.

b) [1,25 puntos] Para a=−1a = -1, halla la recta que corta perpendicularmente a rr y ss.
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Resultado
  a)[v⃗r,v⃗s,RS→]=3a+3=0  ⟹  a=−1  \boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{v}_{r},\vec{v}_{s},\overrightarrow{RS}\bigr] = 3a+3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -1\;}  b)ℓ≡x−14=y−2−6=z−11, por el punto de corte P(1,2,1)  \boxed{\;\text{b)}\quad \ell \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z-1}{1}, \ \text{por el punto de corte } P(1,2,1)\;}
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Estrategia

Hay que empezar leyendo las dos rectas, cada una en su formato. En rr las igualdades x=y+a=z+12x = y+a = \frac{z+1}{2} son ya la forma continua (con denominadores 11, 11 y 22). En ss, que viene como intersección de planos, el director es el producto vectorial de las dos normales. Los criterios dan 0,50{,}5 puntos solo por esos dos vectores.

En a) la condición de que se corten es que el producto mixto [v⃗r,v⃗s,RS→]\bigl[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{RS}\bigr] se anule (los directores no son proporcionales, así que la alternativa a cortarse es cruzarse).

En b) hay que leer bien: con a=−1a=-1, que es justo el valor hallado en a), las rectas se cortan, así que la recta que corta perpendicularmente a las dos pasa por el punto de intersección y tiene dirección v⃗r×v⃗s\vec{v}_{r}\times\vec{v}_{s}. No hay que construir ninguna perpendicular común entre rectas que se cruzan.
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Desarrollo

Lectura de las rectas.

De r≡x1=y+a1=z+12r \equiv \dfrac{x}{1} = \dfrac{y+a}{1} = \dfrac{z+1}{2}:R(0, −a, −1)∈r,v⃗r=(1, 1, 2)R(0,\ -a,\ -1) \in r, \qquad \vec{v}_{r} = (1,\ 1,\ 2)De ss, con normales (1,−2,0)(1,-2,0) y (1,0,1)(1,0,1):v⃗s=(1,−2,0)×(1,0,1)=∣i⃗j⃗k⃗1−20101∣=(−2, −1, 2)\vec{v}_{s} = (1,-2,0)\times(1,0,1) = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right| = (-2,\ -1,\ 2)Un punto de ss: haciendo y=0y=0 queda x=3ax = 3a y z=2−3az = 2-3a, luego S(3a, 0, 2−3a)S(3a,\ 0,\ 2-3a).

Los directores no son proporcionales (1−2≠1−1\frac{1}{-2} \neq \frac{1}{-1}), así que las rectas se cortan o se cruzan.

a) Condición de corte. Con RS→=S−R=(3a, a, 3−3a)\overrightarrow{RS} = S - R = (3a,\ a,\ 3-3a):[v⃗r, v⃗s, RS→]=∣112−2−123aa3−3a∣\bigl[\vec{v}_{r},\ \vec{v}_{s},\ \overrightarrow{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ 3a & a & 3-3a \end{array}\right|Desarrollando por la primera fila:=1[−(3−3a)−2a]−1[−2(3−3a)−6a]+2[−2a+3a]= 1\bigl[-(3-3a) - 2a\bigr] - 1\bigl[-2(3-3a) - 6a\bigr] + 2\bigl[-2a + 3a\bigr]=(a−3)−(−6)+2a=3a+3= (a - 3) - (-6) + 2a = 3a + 33a+3=0  ⟹  a=−13a + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -1b) La recta perpendicular común, con a=−1a = -1.

Punto de intersección. Con a=−1a=-1: R(0,1,−1)R(0,1,-1) y S(−3,0,5)S(-3,0,5). En paramétricas,r≡(t, 1+t, −1+2t),s≡(−3−2λ, −λ, 5+2λ)r \equiv (t,\ 1+t,\ -1+2t), \qquad s \equiv (-3-2\lambda,\ -\lambda,\ 5+2\lambda)Igualando las dos primeras coordenadas:t=−3−2λ,1+t=−λ  ⟹  1−3−2λ=−λ  ⟹  λ=−2,t=1t = -3-2\lambda, \qquad 1+t = -\lambda \;\Longrightarrow\; 1 - 3 - 2\lambda = -\lambda \;\Longrightarrow\; \lambda = -2, \quad t = 1y la tercera lo confirma: −1+2=1-1 + 2 = 1 y 5−4=15 - 4 = 1 ✓. El punto de corte esP(1, 2, 1)P(1,\ 2,\ 1)Dirección. La recta buscada debe ser perpendicular a v⃗r\vec{v}_{r} y a v⃗s\vec{v}_{s}, luego su director esw⃗=v⃗r×v⃗s=∣i⃗j⃗k⃗112−2−12∣=(2+2) i⃗−(2+4) j⃗+(−1+2) k⃗=(4, −6, 1)\vec{w} = \vec{v}_{r}\times\vec{v}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2\end{array}\right| = (2+2)\,\vec{i} - (2+4)\,\vec{j} + (-1+2)\,\vec{k} = (4,\ -6,\ 1)La recta, por P(1,2,1)P(1,2,1):ℓ≡x−14=y−2−6=z−11\ell \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z-1}{1}Comprobaciones. w⃗⋅v⃗r=4−6+2=0\vec{w}\cdot\vec{v}_{r} = 4 - 6 + 2 = 0 ✓ y w⃗⋅v⃗s=−8+6+2=0\vec{w}\cdot\vec{v}_{s} = -8 + 6 + 2 = 0 ✓. Y ℓ\ell pasa por PP, que está en rr y en ss, luego corta a las dos.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Enlaza los dos apartados: el valor a=−1a=-1 de b) es precisamente el que hace que las rectas se corten. Por eso la perpendicular común pasa por el punto de intersección y el ejercicio es mucho más corto de lo que parece. Quien monta la maquinaria de la perpendicular común entre rectas que se cruzan pierde diez minutos.

Y en a), justifica que los directores no son proporcionales antes de usar el producto mixto: si lo fueran, el determinante se anularía siempre y la conclusión "se cortan" sería falsa (serían paralelas).
Paso 1 de 3
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