Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

P(1,0,-1)

Q(2,1,1)

y la recta

r

dada por

x - 5 = y = \frac{z+2}{-2}

a) [1,25 puntos] Determina el punto simétrico de

P

respecto de

r

.

b) [1,25 puntos] Calcula el punto de

r

que equidista de

P

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R(5,0,-2), \; \vec{u} = (1,1,-2), \; M(t) = (5+t,\, t,\, -2-2t)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{MP}\cdot\vec{u} = -6t-6 = 0 \Rightarrow M(4,-1,0); \qquad P' = 2M - P = (7,\, -2,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lVert M-P\rVert^{2} = \lVert M-Q\rVert^{2} \Rightarrow t = -\tfrac12: \quad \left(\tfrac92,\, -\tfrac12,\, -1\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se resuelven parametrizando la recta y traduciendo la condición geométrica a una ecuación en

t

a) El simétrico respecto de una recta pasa por el pie de la perpendicular $M$ : se impone $\vec{MP}\perp\vec{u}$ , se despeja $t$ y se aplica $P' = 2M - P$ .
b) "Equidista de $P$ y $Q$ " es $\lVert X - P\rVert = \lVert X - Q\rVert$ . Para evitar raíces se igualan los cuadrados: los términos en $t^{2}$ se cancelan y queda una ecuación lineal.

Desarrollo

Elementos de la recta. De la forma continua

\dfrac{x-5}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{-2}

R(5,\, 0,\, -2), \qquad \vec{u} = (1,\, 1,\, -2)

M(t) = \bigl(5+t,\; t,\; -2-2t\bigr)

a) Pie de la perpendicular desde $P$ .

\vec{MP} = P - M = \bigl(1 - 5 - t,\; -t,\; -1 + 2 + 2t\bigr) = \bigl(-4 - t,\; -t,\; 1 + 2t\bigr)

Imponemos

\vec{MP}\cdot\vec{u} = 0

(-4-t)\cdot 1 + (-t)\cdot 1 + (1+2t)\cdot(-2) = 0

-4 - t - t - 2 - 4t = 0 \;\Longrightarrow\; -6t - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = \bigl(5-1,\; -1,\; -2+2\bigr) = (4,\, -1,\, 0)

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, luego

P' = 2M - P

P' = \bigl(8 - 1,\; -2 - 0,\; 0 - (-1)\bigr) = (7,\, -2,\, 1)

(Comprobación: $\vec{PM} = (3,-1,1)$ y $\vec{MP'} = (3,-1,1)$ coinciden, así que $M$ es el punto medio $\checkmark$ ; y $\vec{PM}\cdot\vec{u} = 3 - 1 - 2 = 0\;\checkmark$ )

b) Punto de $r$ equidistante de $P$ y $Q$ . Igualamos los cuadrados de las distancias:

M - P = \bigl(4+t,\; t,\; -1-2t\bigr) \;\Longrightarrow\; \lVert\cdot\rVert^{2} = (4+t)^{2} + t^{2} + (1+2t)^{2}

= \bigl(16 + 8t + t^{2}\bigr) + t^{2} + \bigl(1 + 4t + 4t^{2}\bigr) = 6t^{2} + 12t + 17

M - Q = \bigl(3+t,\; t-1,\; -3-2t\bigr) \;\Longrightarrow\; \lVert\cdot\rVert^{2} = (3+t)^{2} + (t-1)^{2} + (3+2t)^{2}

= \bigl(9 + 6t + t^{2}\bigr) + \bigl(t^{2} - 2t + 1\bigr) + \bigl(9 + 12t + 4t^{2}\bigr) = 6t^{2} + 16t + 19

Los términos cuadráticos se cancelan:

6t^{2} + 12t + 17 = 6t^{2} + 16t + 19 \;\Longrightarrow\; -4t = 2 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{2}

X = \left(5 - \frac12,\; -\frac12,\; -2 + 1\right) = \left(\frac{9}{2},\; -\frac{1}{2},\; -1\right)

Comprobación. Con

t = -\tfrac12

\;6\cdot\tfrac14 - 6 + 17 = \tfrac{25}{2}\;

\;6\cdot\tfrac14 - 8 + 19 = \tfrac{25}{2}\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el simétrico respecto de una recta, el pie no se obtiene sustituyendo en una ecuación (eso es lo del plano): hay que parametrizar e imponer perpendicularidad con el director. El paso final, $P' = 2M - P$ , sí es común a los dos casos.

Y no confundas $M$ con $P'$ : $M$ es el punto medio. Responder $(4,-1,0)$ significa haber hecho todo el trabajo y perder el ejercicio por no dar el último paso.

En b), iguala los cuadrados de las distancias: los términos en $t^{2}$ se cancelan siempre (porque $X$ recorre una recta) y queda una ecuación de primer grado. Manejar raíces cuadradas no aporta nada y multiplica los errores.