Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(0,1,1)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x - 2y = -5 \\ \phantom{x - 2y}z = \phantom{-}2\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por

P

y contiene a

r

.

b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de

P

respecto de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (-2,-1,0), \qquad R(-5,0,2)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = (1,-2,3) \;\Longrightarrow\; x - 2y + 3z - 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{QP}\cdot\vec{u} = -5t - 11 = 0 \Rightarrow Q\left(-\tfrac35, \tfrac{11}{5}, 2\right); \qquad P' = \left(-\tfrac65,\, \tfrac{17}{5},\, 3\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta viene como intersección de dos planos; su director sale del producto vectorial de los normales, y un punto se obtiene dando valor a una incógnita.

a) El plano queda determinado por un punto $R$ de la recta, la dirección $\vec{u}$ y el vector $\vec{RP}$ : su normal es $\vec{u}\times\vec{RP}$ . (Antes conviene verificar que $P\notin r$ .)
b) Simétrico respecto de una recta: se parametriza $Q(t)$ , se impone $\vec{QP}\perp\vec{u}$ para hallar el pie, y $P' = 2Q - P$ .

Desarrollo

Elementos de la recta. Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,-2,0)

\vec{n}_{2} = (0,0,1)

\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0 & 1\end{array}\right| = (-2,\, -1,\, 0)

Un punto: con

y = 0

queda

x = -5

, y

z = 2

R(-5,\, 0,\, 2) \in r

¿Está $P$ en $r$ ?

P(0,1,1)

tiene

z = 1 \neq 2

: no. El plano de a) está bien definido.

a) Normal del plano.

\vec{RP} = P - R = (0+5,\; 1-0,\; 1-2) = (5,\, 1,\, -1)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}5 & \phantom{-}1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-1) - (0)(1) = 1

\vec{j}: \; -\Bigl[(-2)(-1) - (0)(5)\Bigr] = -2

\vec{k}: \; (-2)(1) - (-1)(5) = -2 + 5 = 3

\vec{n} = (1,\, -2,\, 3)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(-5,0,2)

1\,(x + 5) - 2\,(y - 0) + 3\,(z - 2) = 0

x - 2y + 3z + 5 - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x - 2y + 3z - 1 = 0

Comprobaciones. Pasa por

P(0,1,1)

\;0 - 2 + 3 - 1 = 0\;\checkmark

. Y contiene a

r

: el punto genérico

(-5-2t,\, -t,\, 2)

(-5-2t) - 2(-t) + 6 - 1 = -5 - 2t + 2t + 5 = 0 \quad \checkmark

b) Pie de la perpendicular.

Q(t) = R + t\,\vec{u} = \bigl(-5 - 2t,\; -t,\; 2\bigr)

\vec{QP} = P - Q = \bigl(5 + 2t,\; 1 + t,\; -1\bigr)

Imponemos

\vec{QP}\cdot\vec{u} = 0

(5+2t)(-2) + (1+t)(-1) + (-1)(0) = -10 - 4t - 1 - t = -5t - 11 = 0

t = -\frac{11}{5}

Q = \left(-5 + \frac{22}{5},\; \frac{11}{5},\; 2\right) = \left(-\frac{3}{5},\; \frac{11}{5},\; 2\right)

Simétrico.

P' = 2Q - P = \left(-\frac{6}{5} - 0,\; \frac{22}{5} - 1,\; 4 - 1\right) = \left(-\frac{6}{5},\; \frac{17}{5},\; 3\right)

Comprobación.

\vec{PQ} = \left(-\tfrac35, \tfrac65, 1\right)

\vec{QP'} = \left(-\tfrac35, \tfrac65, 1\right)

coinciden

\checkmark

, y

\vec{PQ}\cdot\vec{u} = \tfrac65 - \tfrac65 + 0 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba que $P\notin r$ antes de construir el plano: aquí basta mirar la coordenada $z$ ( $1$ frente a $2$ ). Si $P$ estuviera en la recta, habría infinitos planos válidos.

Verifica el plano con el punto genérico de la recta, no solo con un punto concreto: si al sustituir $(-5-2t, -t, 2)$ la expresión se anula para todo $t$ , el plano contiene a $r$ de verdad.

En b), las fracciones no son señal de error: el pie de la perpendicular rara vez cae en un punto de coordenadas enteras. Lo que sí conviene es comprobar que $Q$ es el punto medio de $P$ y $P'$ , que es inmediato.