Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

de ecuaciones

r \equiv x-1 = y = 1-z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x-2y = -1 \\ y+z = 1\end{cases}

a) [0,75 puntos] Determina su punto de corte.

b) [1 punto] Halla el ángulo que forman

r

s

.

c) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (1,1,-1), \ A(1,0,1); \quad \vec v = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-2,-1,1)\;}

\boxed{\;\text{a) } (1+t)-2t = -1 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow P(3,\,2,\,-1)\;}

\boxed{\;\text{b) } \cos\theta = \frac{|-4|}{\sqrt3\sqrt6} = \frac{2\sqrt2}{3} \Rightarrow \theta\approx19{,}47^{\circ}\;}

\boxed{\;\text{c) } \vec n = \vec u\times\vec v = (0,1,1) \Rightarrow \pi\colon y+z-1 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados encadenan la misma información: directores y un punto.

a) Se parametriza $r$ y se sustituye en las dos ecuaciones de $s$ .
b) El ángulo entre rectas usa el valor absoluto del producto escalar (siempre se toma el ángulo agudo):

\cos\theta = \frac{\bigl|\vec u\cdot\vec v\bigr|}{\bigl|\vec u\bigr|\bigl|\vec v\bigr|}

c) Como se cortan, hay un único plano que las contiene: pasa por el punto de corte y tiene normal $\vec u\times\vec v$ .

Desarrollo

Datos de $r$ . De

\;\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{-1}

\vec u = (1,\, 1,\, -1) \qquad A(1,\,0,\,1)

Datos de $s$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,-2,0)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec v = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right| = (-2,\, -1,\, 1)

a) El punto de corte. Punto genérico de

r

P(t) = (1+t,\; t,\; 1-t)

Sustituyendo en la primera ecuación de

s

(1+t)-2t = -1 \;\Longrightarrow\; 1-t = -1 \;\Longrightarrow\; t = 2

En la segunda:

\;y+z = t+(1-t) = 1

\;\checkmark

para todo $t$ (así que basta con la primera).

P = (3,\; 2,\; -1)

Comprobación:

\;3-4 = -1

\checkmark

\;2-1 = 1

\checkmark

b) El ángulo.

\vec u\cdot\vec v = (1)(-2)+(1)(-1)+(-1)(1) = -4

\bigl|\vec u\bigr| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt3 \qquad \bigl|\vec v\bigr| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt6

\cos\theta = \frac{|-4|}{\sqrt3\cdot\sqrt6} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt2} = \frac{2\sqrt2}{3} \approx 0{,}9428

\theta = \arccos\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right) \approx 19{,}47^{\circ}

c) El plano que las contiene. Como se cortan, están en un mismo plano, cuya normal es

\vec n = \vec u\times\vec v = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec i: (1)(1)-(-1)(-1) = 0 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(1)-(-1)(-2)\bigr] = 1 \qquad \vec k: (1)(-1)-(1)(-2) = 1

\vec n = (0,\, 1,\, 1)

Con el punto

A(1,0,1)

0\,(x-1)+1\,(y-0)+1\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; y+z-1 = 0

(Era de esperar: en a) vimos que todos los puntos de $r$ cumplen $y+z = 1$ , y esa es una de las dos ecuaciones que definen $s$ . El plano pedido es justo ese.)

Comprobaciones. El punto de corte

(3,2,-1)

\;2-1-1 = 0

\checkmark

Un punto de

s

(con

y=0

x=-1

z=1

), es decir

(-1,0,1)

\;0+1-1 = 0

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al buscar el corte, sustituye en una ecuación de $s$ y comprueba en la otra. Aquí la segunda se cumple para todo $t$ : $r$ está entera en el plano $y+z=1$ , que es uno de los dos que definen $s$ . Por eso el corte lo decide solo la primera, y ese plano es la respuesta de c).

El ángulo entre rectas lleva valor absoluto en el numerador: se mide siempre el ángulo agudo. Sin él saldría $160{,}53^{\circ}$ , que no es la respuesta esperada.

El plano de c) solo existe porque las rectas se cortan (o son paralelas). Si se cruzaran, no habría ningún plano que contuviera a las dos: menciónalo, es parte del razonamiento.