Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Determina el punto

P

de la recta

r \equiv \frac{x+3}{2} = \frac{y+5}{3} = \frac{z+4}{3}

que equidista del origen de coordenadas y del punto

A(3,2,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;Q(t) = (-3+2t,\; -5+3t,\; -4+3t)\;}

\boxed{\;\lVert\vec{OQ}\rVert^{2} = 22t^{2}-66t+50; \qquad \lVert\vec{AQ}\rVert^{2} = 22t^{2}-96t+110\;}

\boxed{\;-66t+50 = -96t+110 \;\Longrightarrow\; 30t = 60 \;\Longrightarrow\; t = 2\;}

\boxed{\;P = (1,\, 1,\, 2), \quad \text{a distancia } \sqrt6 \text{ de } O \text{ y de } A\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se toma el punto genérico

Q(t)

r

y se impone

\;d(Q,O) = d(Q,A)

.

Truco fundamental: trabajar con los cuadrados de las distancias. Así se evitan las raíces y, al igualar, los términos en

t^{2}

se cancelan, dejando una ecuación de primer grado.

(Geométricamente, el punto buscado es el corte de $r$ con el plano mediador del segmento $\overline{OA}$ ; también se podría resolver así.)

Desarrollo

El punto genérico de $r$ . De la ecuación continua:

A_{0}(-3,-5,-4)

\vec{u} = (2,3,3)

Q(t) = \bigl(-3+2t,\; -5+3t,\; -4+3t\bigr)

Distancia al origen (al cuadrado).

\lVert\vec{OQ}\rVert^{2} = (2t-3)^{2}+(3t-5)^{2}+(3t-4)^{2}

= \bigl(4t^{2}-12t+9\bigr)+\bigl(9t^{2}-30t+25\bigr)+\bigl(9t^{2}-24t+16\bigr) = 22t^{2}-66t+50

Distancia a $A(3,2,1)$ (al cuadrado).

\lVert\vec{AQ}\rVert^{2} = (2t-6)^{2}+(3t-7)^{2}+(3t-5)^{2}

= \bigl(4t^{2}-24t+36\bigr)+\bigl(9t^{2}-42t+49\bigr)+\bigl(9t^{2}-30t+25\bigr) = 22t^{2}-96t+110

Igualando (los

22t^{2}

se cancelan):

-66t+50 = -96t+110 \;\Longrightarrow\; 30t = 60 \;\Longrightarrow\; t = 2

El punto.

P = \bigl(-3+4,\; -5+6,\; -4+6\bigr) = (1,\, 1,\, 2)

Comprobación.

\lVert\vec{OP}\rVert = \sqrt{1+1+4} = \sqrt6 \qquad \lVert\vec{AP}\rVert = \sqrt{(1-3)^{2}+(1-2)^{2}+(2-1)^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt6 \;\checkmark

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Consejo

Trabaja con los cuadrados de las distancias: evitas raíces y los términos cuadráticos se cancelan solos, dejando una ecuación de primer grado.

Que los coeficientes de $t^{2}$ coincidan ( $22$ en los dos) es una comprobación gratuita: siempre debe pasar, porque ambos vienen de $\lVert\vec{u}\rVert^{2}$ .

Alternativa igual de válida: cortar $r$ con el plano mediador de $\overline{OA}$ . Da el mismo punto, y usarla como comprobación es rápido.