Ejercicio 8 (bloque B). Considera el plano \pi \equiv x + y + z = 0 y la recta r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2} Halla la ecuación de un plano \pi', paralelo a \pi, tal que si Q y Q' son respectivamente los puntos de corte de la recta r con los planos \pi y \pi', entonces la distancia entre Q y Q' sea de 2 unidades.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera el plano

\pi \equiv x + y + z = 0

y la recta

r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}

Halla la ecuación de un plano

\pi'

, paralelo a

\pi

, tal que si

Q

Q'

son respectivamente los puntos de corte de la recta

r

con los planos

\pi

\pi'

, entonces la distancia entre

Q

Q'

sea de

2

unidades.

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Resultado

\boxed{\;\pi' \equiv x + y + z = \frac{10}{3} \qquad \text{o} \qquad \pi' \equiv x + y + z = -\frac{10}{3}\;}

\boxed{\;\text{Equivalentemente: } 3x + 3y + 3z \mp 10 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano paralelo a

\pi

tiene la misma normal, así que su ecuación es

x + y + z = d

con

d

desconocido: una sola incógnita.

El resto es mecánico si se parametriza la recta: se calcula

Q

(el corte con

\pi

), se calcula

Q'

en función de

d

, y se impone

\lVert \vec{QQ'}\rVert = 2

. Sale una ecuación con valor absoluto y, por tanto, dos planos solución.

Un aviso importante: la distancia que se pide es entre los dos puntos de la recta, medida a lo largo de

r

, y no la distancia entre los dos planos. Como

r

no es perpendicular a

\pi

, esos dos números son distintos.

Desarrollo

Parametrización de la recta. De

x - 1 = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z+1}{2} = t

r \equiv (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; -1 + 2t), \qquad \vec{d}_{r} = (1, 2, 2)

Punto $Q = r \cap \pi$ . Sustituyendo en

x + y + z = 0

(1 + t) + 2t + (-1 + 2t) = 0 \;\Longrightarrow\; 5t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 \;\Longrightarrow\; Q(1, 0, -1)

El plano paralelo. Todo plano paralelo a

\pi

es de la forma

\pi' \equiv x + y + z = d, \qquad d \neq 0

Punto $Q' = r \cap \pi'$ .

(1 + t) + 2t + (-1 + 2t) = d \;\Longrightarrow\; 5t = d \;\Longrightarrow\; t = \frac{d}{5}

Q' = \left(1 + \frac{d}{5},\; \frac{2d}{5},\; -1 + \frac{2d}{5}\right)

Condición sobre la distancia.

\vec{QQ'} = \left(\frac{d}{5},\; \frac{2d}{5},\; \frac{2d}{5}\right) = \frac{d}{5}\,(1, 2, 2)

\bigl\lVert\vec{QQ'}\bigr\rVert = \frac{|d|}{5}\sqrt{1 + 4 + 4} = \frac{|d|}{5}\cdot 3 = \frac{3|d|}{5}

\frac{3|d|}{5} = 2 \;\Longrightarrow\; |d| = \frac{10}{3} \;\Longrightarrow\; d = \frac{10}{3} \quad \text{o} \quad d = -\frac{10}{3}

Los dos planos.

\pi'_{1} \equiv x + y + z = \frac{10}{3} \;\Longleftrightarrow\; 3x + 3y + 3z - 10 = 0

\pi'_{2} \equiv x + y + z = -\frac{10}{3} \;\Longleftrightarrow\; 3x + 3y + 3z + 10 = 0

Los dos son válidos: el enunciado pide "un plano", así que basta con dar uno, pero conviene señalar que hay dos soluciones simétricas respecto de

\pi

.

Comprobación con

d = \frac{10}{3}

: entonces

t = \frac{2}{3}

Q' = \left(\frac{5}{3},\; \frac{4}{3},\; \frac{1}{3}\right), \qquad \vec{QQ'} = \left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right), \qquad \bigl\lVert\vec{QQ'}\bigr\rVert = \frac{2}{3}\sqrt{1+4+4} = 2 \quad \checkmark

(Y para ver que la distancia entre los planos es otra cosa: vale $\frac{10/3}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{9} \approx 1{,}92$ , no $2$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La distancia del enunciado se mide sobre la recta, entre $Q$ y $Q'$ , no perpendicularmente entre los planos. Solo coincidirían si $r$ fuese perpendicular a $\pi$ , y aquí no lo es: $\vec{d}_{r} = (1,2,2)$ no es proporcional a $\vec{n} = (1,1,1)$ . Aplicar la fórmula de la distancia entre planos paralelos da $\approx 1{,}92$ y es la respuesta a otra pregunta.

Aprovecha que $\vec{QQ'}$ sale proporcional al vector director: eso convierte el cálculo del módulo en una multiplicación, sin raíces feas. Y no olvides los dos signos del valor absoluto: hay un plano a cada lado de $\pi$ .