Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,-1,0)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = \phantom{1+3}t\end{cases}

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por

P

y contiene a

r

.

b) [1,25 puntos] Halla las coordenadas del punto simétrico de

P

respecto de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;R(1,-2,0),\; \vec{u} = (3,0,1),\; \vec{RP} = (0,1,0); \qquad P \notin r\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = (-1,0,3) \;\Longrightarrow\; x - 3z - 1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{QP}\cdot\vec{u} = -10t = 0 \Rightarrow Q(1,-2,0); \qquad P' = 2Q - P = (1,\, -3,\, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El plano queda determinado por un punto de la recta, la dirección $\vec{u}$ y el vector $\vec{RP}$ . Su normal es el producto vectorial $\vec{u}\times\vec{RP}$ . (Conviene comprobar antes que $P\notin r$ ; si no, el plano no sería único.)
b) Simétrico respecto de una recta: se parametriza el punto genérico $Q(t)$ , se impone $\vec{QP}\perp\vec{u}$ para hallar el pie, y luego $P' = 2Q - P$ .

Aquí ocurre algo cómodo: el pie resulta ser el propio punto

R

con el que viene dada la recta.

Desarrollo

Elementos de la recta.

R(1,\, -2,\, 0), \qquad \vec{u} = (3,\, 0,\, 1)

¿Está $P$ en $r$ ? La segunda coordenada de todo punto de

r

-2

, y la de

P

-1

P \notin r \quad \checkmark

a) Normal del plano.

\vec{RP} = P - R = (1-1,\; -1+2,\; 0-0) = (0,\, 1,\, 0)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RP} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (0)(0) - (1)(1) = -1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(3)(0) - (1)(0)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: \; (3)(1) - (0)(0) = 3

\vec{n} = (-1,\, 0,\, 3)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(1,-2,0)

-1\,(x - 1) + 0\,(y+2) + 3\,z = 0 \;\Longrightarrow\; -x + 3z + 1 = 0

o, cambiando de signo,

x - 3z - 1 = 0

Comprobaciones. Pasa por

P

\;1 - 0 - 1 = 0\;\checkmark

. Y contiene a

r

: el punto genérico

(1+3t,\, -2,\, t)

\;(1+3t) - 3t - 1 = 0\;\checkmark

para todo

t

.

(Nótese que la $y$ no aparece: el plano es paralelo al eje $OY$ , lo cual tiene sentido porque $\vec{RP} = (0,1,0)$ es precisamente la dirección de ese eje.)

b) Pie de la perpendicular. Un punto genérico de

r

Q(t) = \bigl(1+3t,\; -2,\; t\bigr)

\vec{QP} = P - Q = \bigl(-3t,\; 1,\; -t\bigr)

Imponemos

\vec{QP}\perp\vec{u}

(-3t)(3) + (1)(0) + (-t)(1) = -9t - t = -10t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0

Q = (1,\, -2,\, 0) = R

(El punto $R$ con el que viene dada la recta era ya el pie de la perpendicular desde $P$ .)

Simétrico.

P' = 2Q - P = \bigl(2 - 1,\; -4 + 1,\; 0 - 0\bigr) = (1,\, -3,\, 0)

Comprobación.

\vec{PQ} = (0,-1,0)

\vec{QP'} = (0,-1,0)

coinciden, así que

Q

es el punto medio

\checkmark

; y

\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba que $P$ no está en la recta antes de construir el plano: si estuviera, habría infinitos planos que la contienen y pasan por $P$ , y el enunciado no tendría respuesta única. Aquí basta mirar la coordenada $y$ .

Que el pie salga exactamente en $t=0$ no es un error: significa que el punto con el que venía dada la recta ya era el más cercano a $P$ . Ocurre a veces y conviene no dudar.

Y no confundas el pie con el simétrico: $Q(1,-2,0)$ está a mitad de camino. El resultado es $P' = 2Q - P = (1,-3,0)$ .