Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} \phantom{3}x - y + z = \phantom{-}2 \\ 3x - y - z = -4 \end{cases}

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas

r

s

, calcula su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{d}_{s} = (2,4,2) = 2\,\vec{d}_{r} \;\Longrightarrow\; r \text{ y } s \text{ son paralelas}\;}

\boxed{\;\text{Lado} = d(r,s) = \frac{\sqrt{21}}{3}, \qquad A = \frac{7}{3} \approx 2{,}33 \ \text{u}^{2}\;}

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Estrategia

Dos lados de un cuadrado son opuestos (y entonces están en rectas paralelas) o contiguos (y entonces están en rectas que se cortan perpendicularmente). En el segundo caso el área no quedaría determinada (habría cuadrados de cualquier tamaño), y si las rectas se cruzaran no habría tal cuadrado. Así que lo primero es comprobar que

r

s

son paralelas: es lo que da sentido al enunciado y convierte a los dos lados en opuestos.

Si son paralelas, el lado del cuadrado es la distancia entre las dos rectas, y el área es esa distancia al cuadrado. Eso tiene una consecuencia práctica muy cómoda: como al final hay que elevar al cuadrado, no hace falta simplificar la raíz.

La distancia entre dos rectas paralelas se calcula con la fórmula de la distancia de un punto de una a la otra:

d(r,s) = \frac{\bigl\lVert\vec{RS}\times\vec{d}\,\bigr\rVert}{\bigl\lVert\vec{d}\,\bigr\rVert}

Desarrollo

Datos de $r$ . De la ecuación continua:

R(0,\, -2,\, 1), \qquad \vec{d}_{r} = (1,\, 2,\, 1)

Vector director de $s$ . Es el producto vectorial de los normales

\vec{n}_{1} = (1,-1,1)

\vec{n}_{2} = (3,-1,-1)

\vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-1)(-1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(-1) - (1)(3)\Bigr] = -\bigl[-1 - 3\bigr] = 4

\vec{k}: \; (1)(-1) - (-1)(3) = -1 + 3 = 2

\vec{d}_{s} = (2,\, 4,\, 2) = 2\,(1, 2, 1)

Son paralelas, porque

\vec{d}_{s}

es proporcional a

\vec{d}_{r}

. El enunciado es coherente.

Un punto de $s$ . Haciendo

z = 0

en el sistema:

\begin{cases} \phantom{3}x - y = \phantom{-}2 \\ 3x - y = -4 \end{cases}

Restando:

\;2x = -6 \Longrightarrow x = -3

, y entonces

y = x - 2 = -5

S(-3,\, -5,\, 0)

(Y $S \notin r$ : en $r$ , el punto con $x=-3$ tendría $y = -2 + 2(-3) = -8 \neq -5$ . Las rectas son paralelas y distintas, como debe ser.)

Distancia entre las rectas.

\vec{RS} = S - R = (-3,\, -3,\, -1)

\vec{RS}\times\vec{d}_{r} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-3)(1) - (-1)(2) = -3 + 2 = -1

\vec{j}: \; -\Bigl[(-3)(1) - (-1)(1)\Bigr] = -\bigl[-3 + 1\bigr] = 2

\vec{k}: \; (-3)(2) - (-3)(1) = -6 + 3 = -3

\vec{RS}\times\vec{d}_{r} = (-1,\, 2,\, -3), \qquad \bigl\lVert\vec{RS}\times\vec{d}_{r}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

\bigl\lVert\vec{d}_{r}\bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

d(r,s) = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3} \approx 1{,}53

Área del cuadrado. El lado mide

d(r,s)

, así que

A = d(r,s)^{2} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo primero es comprobar el paralelismo. Si las rectas se cruzaran, ningún cuadrado tendría dos lados sobre ellas, y si se cortaran (perpendicularmente) serían lados contiguos y el área no quedaría determinada. Esa comprobación no es un trámite: es la que justifica que los lados sean opuestos y que la distancia entre las rectas sea el lado.

Y como el área es el lado al cuadrado, no pierdas tiempo racionalizando: de $d^{2} = \frac{14}{6}$ sales directamente a $\frac{7}{3}$ . Simplificar $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}$ a $\frac{\sqrt{21}}{3}$ está bien para dar el lado, pero para el área es un rodeo.