Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto

A(1,1,-1)

, es paralela al plano de ecuación

\;x-y+z = 1\;

y corta al eje $Z$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Corte con el eje } Z: \ Q(c) = (0,0,c); \quad \vec{AQ} = (-1,-1,c+1)\;}

\boxed{\;\text{Paralela al plano}: \ \vec{AQ}\cdot(1,-1,1) = c+1 = 0 \;\Longrightarrow\; c = -1\;}

\boxed{\;Q(0,0,-1), \qquad \vec{AQ} = (-1,-1,0)\sim(1,1,0)\;}

\boxed{\;s\colon (x,y,z) = (1,1,-1)+t\,(1,1,0) \equiv \{x = y,\ z = -1\}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones. La clave es no buscar el director a ciegas, sino parametrizar el punto de corte con el eje $Z$ :

Q(c) = (0,\,0,\,c)

Entonces la recta buscada es la que une

A

con

Q

, y su director es

\vec{AQ}

.

La condición "paralela al plano" se traduce en que el director sea perpendicular al normal:

\vec{AQ}\cdot\vec n = 0

Una sola ecuación con una sola incógnita (

c

Desarrollo

El punto genérico del eje $Z$ .

Q(c) = (0,\,0,\,c) \qquad \vec{AQ} = Q-A = (-1,\; -1,\; c+1)

El normal del plano.

\vec n = (1,\, -1,\, 1)

La condición de paralelismo.

\vec{AQ}\cdot\vec n = (-1)(1)+(-1)(-1)+(c+1)(1) = -1+1+c+1 = c+1

c+1 = 0 \;\Longrightarrow\; c = -1

Q = (0,\,0,\,-1)

El director.

\vec{AQ} = (-1,\, -1,\, 0) \;\sim\; (1,\, 1,\, 0)

La recta.

s \equiv (x,y,z) = (1,\,1,\,-1)+t\,(1,\,1,\,0)

s \equiv \begin{cases} x = 1+t \\ y = 1+t \\ z = -1\end{cases} \qquad \text{o bien} \qquad s \equiv \begin{cases} x-y = 0 \\ z = -1\end{cases}

Comprobaciones.

(1,1,0)\cdot(1,-1,1) = 1-1+0 = 0 \;\checkmark \quad (\text{paralela al plano})

A \text{ en el plano}: \ 1-1-1 = -1 \neq 1 \;\checkmark \quad (\text{paralela, no contenida})

Q(0,0,-1) \text{ está en el eje } Z \;\checkmark \quad \text{y en la recta (con } t = -1)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Parametriza lo que falta por determinar (aquí, el punto del eje $Z$ ) en vez del director: deja una sola incógnita y la condición de paralelismo la fija de inmediato.

El eje $Z$ es $\{x = 0,\ y = 0\}$ , así que sus puntos son $(0,0,c)$ . Confundirlo con el eje $X$ o $Y$ es un despiste caro.

"Paralela al plano" es $\vec u\cdot\vec n = 0$ , no $\vec u\parallel\vec n$ . Y comprueba que $A$ no está en el plano: si lo estuviera, la recta quedaría contenida en él.