Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,2,1)

B(-1,0,3)

.

a) [1,25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento $AB$ en tres partes iguales.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento $AB$ y que pasa por

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-2,\, -2,\, 2)\;}

\boxed{\;P_{1} = A+\tfrac13\vec{AB} = \left(\tfrac13,\; \tfrac43,\; \tfrac53\right)\;}

\boxed{\;P_{2} = A+\tfrac23\vec{AB} = \left(-\tfrac13,\; \tfrac23,\; \tfrac73\right)\;}

\boxed{\;\text{b) Normal } \vec{AB}\sim(1,1,-1) \text{ por } A: \quad x+y-z-2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Los dos puntos de trisección se obtienen avanzando un tercio y dos tercios del vector $\vec{AB}$ desde $A$ :

P_{1} = A+\frac13\vec{AB} \qquad P_{2} = A+\frac23\vec{AB}

b) "Perpendicular al segmento" $\Rightarrow$ el vector $\vec{AB}$ es el normal del plano. Con el normal y el punto $A$ , la ecuación es inmediata.

Desarrollo

El vector $\vec{AB}$ .

\vec{AB} = B-A = (-1-1,\; 0-2,\; 3-1) = (-2,\; -2,\; 2)

a) Los puntos de trisección.

\frac13\vec{AB} = \left(-\frac23,\; -\frac23,\; \frac23\right)

P_{1} = A+\frac13\vec{AB} = \left(1-\frac23,\; 2-\frac23,\; 1+\frac23\right) = \left(\frac13,\; \frac43,\; \frac53\right)

P_{2} = A+\frac23\vec{AB} = \left(1-\frac43,\; 2-\frac43,\; 1+\frac43\right) = \left(-\frac13,\; \frac23,\; \frac73\right)

Comprobación.

P_{2}

debe ser el punto medio de

P_{1}

B

\left(\frac{\tfrac13-1}{2},\; \frac{\tfrac43+0}{2},\; \frac{\tfrac53+3}{2}\right) = \left(-\frac13,\; \frac23,\; \frac73\right) \;\checkmark

(Y los tres segmentos miden lo mismo: $\bigl|\tfrac13\vec{AB}\bigr| = \frac13\sqrt{4+4+4} = \frac{2\sqrt3}{3}$ .)

b) El plano perpendicular a $AB$ por $A$ . El normal es

\vec{AB} = (-2,-2,2)\sim(1,1,-1)

1\,(x-1)+1\,(y-2)-1\,(z-1) = 0

x-1+y-2-z+1 = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-z-2 = 0

Comprobaciones.

A(1,2,1): \ 1+2-1-2 = 0 \;\checkmark

B(-1,0,3): \ -1+0-3-2 = -6 \neq 0 \;\checkmark \ \text{(} B \text{ no está en el plano, como debe ser)}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Trisecar un segmento es sumar fracciones del vector, no promediar coordenadas: $P_{1}$ está a $\frac13$ del camino y $P_{2}$ a $\frac23$ . Con $\frac12$ obtendrías el punto medio.

"Perpendicular al segmento $AB$ " significa normal $=\vec{AB}$ . No lo confundas con el plano mediador, que además pasaría por el punto medio en vez de por $A$ .

Comprueba que $P_{2}$ es el punto medio de $P_{1}$ y $B$ : es la verificación más rápida de que las tres partes son iguales.