Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0). a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C(-2,3,2). b) [1,5 puntos] Calcula la distancia de r a s.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2014 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta

r

que pasa por los puntos

A(1,0,-1)

B(-1,1,0)

.

a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta

s

paralela a

r

que pasa por

C(-2,3,2)

.

b) [1,5 puntos] Calcula la distancia de

r

s

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Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{AB} = (-2,\, 1,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{a) } s \equiv \frac{x+2}{-2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-2}{1}\;}

\boxed{\;\vec{AC} = (-3,3,3), \qquad \vec{AC}\times\vec{u} = (0,-3,3)\;}

\boxed{\;\text{b) } d(r,s) = \frac{\lVert(0,-3,3)\rVert}{\lVert(-2,1,1)\rVert} = \frac{3\sqrt2}{\sqrt6} = \sqrt3\;}

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Estrategia

a) Dos rectas paralelas comparten director. El de $r$ es $\vec{AB}$ , así que $s$ pasa por $C$ con ese mismo vector.
b) Al ser paralelas, la distancia entre ellas es la distancia de cualquier punto de una a la otra. Tomamos $C$ y aplicamos la fórmula punto-recta:

d(r,s) = d(C,r) = \frac{\bigl\lVert\vec{AC}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

(Antes conviene comprobar que $C\notin r$ ; si estuviera, las rectas serían la misma y la distancia sería $0$ .)

Desarrollo

El director de $r$ .

\vec{u} = \vec{AB} = (-1-1,\; 1-0,\; 0+1) = (-2,\, 1,\, 1)

a) La recta $s$ . Paralela a

r

y por

C(-2,3,2)

s \equiv \begin{cases} x = -2-2\lambda \\ y = \phantom{-}3+\lambda \\ z = \phantom{-}2+\lambda\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x+2}{-2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-2}{1}

b) La distancia. Primero, el vector

\vec{AC}

\vec{AC} = (-2-1,\; 3-0,\; 2+1) = (-3,\, 3,\, 3)

El producto vectorial.

\vec{AC}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (3)(1)-(3)(1) = 0

\vec{j}: -\bigl[(-3)(1)-(3)(-2)\bigr] = -\bigl[-3+6\bigr] = -3

\vec{k}: (-3)(1)-(3)(-2) = -3+6 = 3

\vec{AC}\times\vec{u} = (0,\, -3,\, 3) \neq \vec{0}

(No es nulo, luego $C\notin r$ : las rectas son paralelas distintas y la distancia no es cero.)

Los módulos.

\bigl\lVert\vec{AC}\times\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{0+9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt2

\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4+1+1} = \sqrt6

La distancia.

d(r,s) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt6} = \frac{3\sqrt2}{\sqrt2\sqrt3} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \approx 1{,}73

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Consejo

Entre rectas paralelas la distancia se reduce a punto-recta: no hace falta el producto mixto ni buscar la perpendicular común. Ese planteamiento es solo para rectas que se cruzan.

Que el producto vectorial $\vec{AC}\times\vec{u}$ sea no nulo demuestra de paso que $C$ no está en $r$ , es decir, que las rectas son distintas. Merece la pena decirlo.

Racionaliza al final: $\frac{3\sqrt2}{\sqrt6} = \sqrt3$ . Dejar la respuesta con raíces en el denominador no es incorrecto, pero simplificar evita errores al comparar con la solución oficial.