Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera el punto

A(2,1,0)

y los planos

\pi_{1} \equiv x + y + z = 0

\pi_{2} \equiv x - y + z = 0

.

a) [1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por

A

y es paralela a

\pi_{1}

y a

\pi_{2}

.

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta

s \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{3} = \dfrac{z}{2}

que equidistan de

\pi_{1}

\pi_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = (2,0,-2)\parallel(1,0,-1); \qquad r \equiv (2+\lambda,\; 1,\; -\lambda)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad |7t+3| = |t-1| \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac23 \text{ o } t = -\tfrac14\;}

\boxed{\;\left(-\tfrac13,\, 0,\, -\tfrac43\right) \qquad \text{y} \qquad \left(\tfrac12,\, \tfrac54,\, -\tfrac12\right)\;}

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Estrategia

a) "Paralela a los dos planos" $\Longrightarrow$ el director es perpendicular a los dos normales: se obtiene con el producto vectorial $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}$ . Conviene además comprobar que $A$ no pertenece a ninguno de los planos, para que la recta sea de verdad paralela y no esté contenida.
b) Se parametriza $s$ y se impone $d(P,\pi_{1}) = d(P,\pi_{2})$ . Aquí hay una simplificación muy cómoda: los dos normales tienen el mismo módulo $\sqrt3$ , así que los denominadores se cancelan y basta igualar los valores absolutos de los numeradores. Eso desdobla el problema en dos casos.

Desarrollo

Normales.

\vec{n}_{1} = (1,\, 1,\, 1), \qquad \vec{n}_{2} = (1,\, -1,\, 1)

a) Dirección de la recta.

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & \phantom{-}1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (1)(-1) = 2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(1) - (1)(1)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: \; (1)(-1) - (1)(1) = -2

\vec{v} = (2,\, 0,\, -2) \;\parallel\; (1,\, 0,\, -1)

La recta. Pasa por

A(2,1,0)

r \equiv (x,y,z) = (2,1,0) + \lambda\,(1,0,-1) = \bigl(2+\lambda,\; 1,\; -\lambda\bigr)

o en forma continua

r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{z}{-1}, \qquad y = 1

Comprobaciones.

\;\vec{v}\cdot\vec{n}_{1} = 1 + 0 - 1 = 0\;\checkmark

\;\vec{v}\cdot\vec{n}_{2} = 1 - 0 - 1 = 0\;\checkmark

. Además

A

no está en ninguno de los planos (

2+1+0 = 3 \neq 0

;

2-1+0 = 1 \neq 0

), así que

r

es paralela a ambos.

b) Parametrización de $s$ . Punto

S(1,2,0)

, director

\vec{u} = (2,3,2)

P(t) = \bigl(1 + 2t,\; 2 + 3t,\; 2t\bigr)

Las dos distancias. Como

\lVert\vec{n}_{1}\rVert = \lVert\vec{n}_{2}\rVert = \sqrt3

d(P,\pi_{1}) = \frac{|x + y + z|}{\sqrt3} = \frac{\bigl|(1+2t) + (2+3t) + 2t\bigr|}{\sqrt3} = \frac{|7t + 3|}{\sqrt3}

d(P,\pi_{2}) = \frac{|x - y + z|}{\sqrt3} = \frac{\bigl|(1+2t) - (2+3t) + 2t\bigr|}{\sqrt3} = \frac{|t - 1|}{\sqrt3}

Ecuación.

|7t + 3| = |t - 1|

Caso 1:

\;7t + 3 = t - 1 \Longrightarrow 6t = -4 \Longrightarrow t = -\dfrac{2}{3}

P_{1} = \left(1 - \frac43,\; 2 - 2,\; -\frac43\right) = \left(-\frac13,\; 0,\; -\frac43\right)

Caso 2:

\;7t + 3 = -(t - 1) = 1 - t \Longrightarrow 8t = -2 \Longrightarrow t = -\dfrac{1}{4}

P_{2} = \left(1 - \frac12,\; 2 - \frac34,\; -\frac12\right) = \left(\frac12,\; \frac54,\; -\frac12\right)

Comprobación. En

P_{1}

|7(-\tfrac23)+3| = |-\tfrac53|

|-\tfrac23 - 1| = \tfrac53\;\checkmark

. En

P_{2}

|7(-\tfrac14)+3| = \tfrac54

|-\tfrac14-1| = \tfrac54\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que los dos normales tengan el mismo módulo ( $\sqrt3$ ) no es casualidad del enunciado: permite cancelar los denominadores y quedarse con $|7t+3| = |t-1|$ . Si los módulos fueran distintos habría que arrastrarlos, pero el método es idéntico.

Una ecuación con dos valores absolutos tiene dos casos, no uno: $A = B$ y $A = -B$ . Cada uno da un punto, y ambos son solución. Resolver solo el primero es el error más común.

En a), comprueba que $A$ no pertenece a ninguno de los dos planos. Si perteneciera, la recta estaría contenida en él y no se podría hablar de paralelismo estricto.