Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera los puntos

A(1, -2, 3)

B(2, 0, -1)

.

a) [1,5 puntos] Halla los puntos que dividen el segmento

AB

en cuatro partes iguales.

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento

AB

que pasa por el punto medio de dicho segmento.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P_{1}\!\left(\tfrac{5}{4}, -\tfrac{3}{2}, 2\right), \qquad P_{2}\!\left(\tfrac{3}{2}, -1, 1\right), \qquad P_{3}\!\left(\tfrac{7}{4}, -\tfrac{1}{2}, 0\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 2x + 4y - 8z + 9 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el ejercicio gira alrededor del vector

\vec{AB}

.

En a), dividir en cuatro partes iguales significa colocar tres puntos interiores, en las posiciones

\frac{1}{4}

\frac{2}{4}

\frac{3}{4}

del recorrido. La fórmula es siempre la misma:

P_{k} = A + \frac{k}{4}\,\vec{AB}, \qquad k = 1, 2, 3

En b) se pide el plano mediador: normal

\vec{AB}

y punto el medio, que es justamente

P_{2}

del apartado anterior.

Desarrollo

Vector del segmento.

\vec{AB} = B - A = (2 - 1,\; 0 - (-2),\; -1 - 3) = (1, 2, -4)

a) Los tres puntos de división.

P_{1} = A + \frac{1}{4}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, -1\right) = \left(\frac{5}{4},\; -\frac{3}{2},\; 2\right)

P_{2} = A + \frac{1}{2}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{1}{2}, 1, -2\right) = \left(\frac{3}{2},\; -1,\; 1\right)

P_{3} = A + \frac{3}{4}\vec{AB} = (1, -2, 3) + \left(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, -3\right) = \left(\frac{7}{4},\; -\frac{1}{2},\; 0\right)

(El punto $P_{2}$ es el punto medio del segmento, y $P_{1}$ y $P_{3}$ son los puntos medios de $AP_{2}$ y $P_{2}B$ : un buen control para no equivocarse.)

Comprobación de que las cuatro partes miden lo mismo. Cada paso avanza

\frac{1}{4}\vec{AB} = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, -1\right)

, cuyo módulo es

\left\lVert\frac{1}{4}\vec{AB}\right\rVert = \frac{1}{4}\sqrt{1 + 4 + 16} = \frac{\sqrt{21}}{4}

y el segmento completo mide

\sqrt{21}

, cuatro veces esa cantidad.

b) Plano mediador. Vector normal

\vec{n} = \vec{AB} = (1, 2, -4)

y punto

P_{2}\left(\frac{3}{2}, -1, 1\right)

1\left(x - \frac{3}{2}\right) + 2\bigl(y + 1\bigr) - 4\bigl(z - 1\bigr) = 0

x - \frac{3}{2} + 2y + 2 - 4z + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x + 2y - 4z + \frac{9}{2} = 0

Multiplicando por

2

para quitar la fracción:

\pi \equiv 2x + 4y - 8z + 9 = 0

(Comprobación: $A(1,-2,3)$ da $2 - 8 - 24 + 9 = -21$ y $B(2,0,-1)$ da $4 + 0 + 8 + 9 = 21$ . Valores opuestos, como corresponde a dos puntos simétricos respecto del plano.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Dividir en cuatro partes iguales" pide tres puntos, no cuatro ni dos. Es un error de lectura muy común: los puntos de división son los interiores; $A$ y $B$ son los extremos, no cuentan.

En b), el plano mediador se construye con la normal $\vec{AB}$ y el punto medio, no con $A$ ni con $B$ . Y verifica el resultado sustituyendo los dos extremos: tienen que dar valores opuestos. Si dan lo mismo, el plano que has escrito es paralelo al segmento en lugar de perpendicular a él.