Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Dados los puntos

O(0,0,0)

A(2,-1,0)

B(3,0,x)

C(-x,1,-1)

, los vectores

\vec{OA}

\vec{OB}

\vec{OC}

determinan un paralelepípedo.

a) [1,5 puntos] Calcula los posibles valores de

x

sabiendo que el volumen del paralelepípedo es

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unidades cúbicas.

b) [1 punto] Para

x = 1

, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices

O

A

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl[\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\bigr] = x^{2} - 2x - 3; \qquad x = 4 \quad \text{o} \quad x = -2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Área} = \bigl\lVert\vec{OA}\times\vec{OB}\bigr\rVert = \sqrt{14} \approx 3{,}74 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo generan (sin dividir entre

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: eso es para el tetraedro). Y como el vértice común es el origen, los tres vectores son directamente las coordenadas de

A

B

C

.

El área de una cara es el módulo del producto vectorial de los dos vectores que la generan (sin dividir entre

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: eso es para el triángulo). Los dos apartados se distinguen precisamente por esos factores.

Atención al valor absoluto de a): puede desdoblar la ecuación en dos casos. Aquí uno de ellos resulta no tener soluciones reales, y hay que decirlo.

Desarrollo

a) Producto mixto.

\bigl[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & x \\ -x & 1 & -1 \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 2\bigl(0\cdot(-1) - x\cdot 1\bigr) - (-1)\bigl(3\cdot(-1) - x\cdot(-x)\bigr) + 0

= 2(-x) + \bigl(-3 + x^{2}\bigr) = x^{2} - 2x - 3

Condición del volumen.

V = \bigl|x^{2} - 2x - 3\bigr| = 5

Caso 1:

\;x^{2} - 2x - 3 = 5 \Longrightarrow x^{2} - 2x - 8 = 0

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \;\Longrightarrow\; x = 4 \;\text{ o }\; x = -2

Caso 2:

\;x^{2} - 2x - 3 = -5 \Longrightarrow x^{2} - 2x + 2 = 0

\Delta = 4 - 8 = -4 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{sin soluciones reales}

Por tanto los valores válidos son

x = 4 \qquad \text{y} \qquad x = -2

(Comprobación con $x=4$ : $16 - 8 - 3 = 5$ . Con $x=-2$ : $4 + 4 - 3 = 5$ . Los dos dan volumen $5$ .)

b) Área de la cara $OAB$ con $x = 1$ . Esa cara es el paralelogramo generado por

\vec{OA}

\vec{OB}

\vec{OA} = (2, -1, 0), \qquad \vec{OB} = (3, 0, 1)

\vec{OA} \times \vec{OB} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right| = \bigl(-1\cdot 1 - 0\cdot 0\bigr)\vec{i} - \bigl(2\cdot 1 - 0\cdot 3\bigr)\vec{j} + \bigl(0 + 3\bigr)\vec{k} = (-1, -2, 3)

\text{Área} = \bigl\lVert \vec{OA} \times \vec{OB} \bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3{,}74 \ \text{unidades cuadradas}

(Obsérvese que $\vec{OC}$ no interviene: la cara $OAB$ solo depende de los dos primeros vectores. Por eso el valor $x=1$ del apartado b) no tiene por qué ser uno de los del apartado a).)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los factores $\frac{1}{6}$ y $\frac{1}{2}$ son la clave para no confundirse. El paralelepípedo mide $\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr|$ y el tetraedro, la sexta parte de eso; el paralelogramo mide $\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert$ y el triángulo, la mitad. Aquí el enunciado dice paralelepípedo y cara, así que no hay que dividir en ninguno de los dos apartados.

Y al abrir el valor absoluto, resuelve los dos casos aunque uno se caiga: escribir que $x^{2}-2x+2=0$ no tiene soluciones reales es parte de la respuesta, no un cálculo desperdiciado.