Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4.

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por el punto

A(0,1,0)

y es perpendicular a la recta

r

dada por

x + 1 = \frac{y+2}{2} = z - 1

b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano de ecuación

2x + 3y + 4z = 12

con los ejes coordenados.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{u} = (1,2,1) \text{ es el normal} \;\Longrightarrow\; x + 2y + z - 2 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(6,0,0), \; Q(0,4,0), \; R(0,0,3); \qquad \vec{PQ}\times\vec{PR} = (12,18,24)\;}

\boxed{\;\text{Área} = \frac{\lVert(12,18,24)\rVert}{2} = \frac{6\sqrt{29}}{2} = 3\sqrt{29} \approx 16{,}16\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos apartados cortos e independientes:

a) Plano perpendicular a una recta $\Longrightarrow$ su vector normal es el director de la recta. Se lee de la forma continua y se hace pasar el plano por $A$ .
b) Los cortes con los ejes salen anulando dos coordenadas cada vez. Con los tres vértices, el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

Desarrollo

a) Director de la recta. De

\dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y+2}{2} = \dfrac{z-1}{1}

\vec{u} = (1,\, 2,\, 1)

Como el plano es perpendicular a

r

, ese vector es su normal. Imponiendo el paso por

A(0,1,0)

1\,(x - 0) + 2\,(y - 1) + 1\,(z - 0) = 0

x + 2y + z - 2 = 0

(Comprobación: $0 + 2 + 0 - 2 = 0\;\checkmark$ )

b) Cortes del plano $2x+3y+4z = 12$ con los ejes.

\text{Eje } OX \; (y=z=0): \quad 2x = 12 \;\Longrightarrow\; P(6,\, 0,\, 0)

\text{Eje } OY \; (x=z=0): \quad 3y = 12 \;\Longrightarrow\; Q(0,\, 4,\, 0)

\text{Eje } OZ \; (x=y=0): \quad 4z = 12 \;\Longrightarrow\; R(0,\, 0,\, 3)

Dos lados del triángulo, desde $P$ .

\vec{PQ} = Q - P = (-6,\, 4,\, 0), \qquad \vec{PR} = R - P = (-6,\, 0,\, 3)

Producto vectorial.

\vec{PQ}\times\vec{PR} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 4 & 0 \\ -6 & 0 & 3\end{array}\right|

\vec{i}: \; (4)(3) - (0)(0) = 12

\vec{j}: \; -\Bigl[(-6)(3) - (0)(-6)\Bigr] = 18

\vec{k}: \; (-6)(0) - (4)(-6) = 24

\vec{PQ}\times\vec{PR} = (12,\, 18,\, 24) = 6\,(2,\, 3,\, 4)

(No es casualidad que salga proporcional a $(2,3,4)$ : es el vector normal del plano, y el producto vectorial de dos vectores del plano tiene que serle perpendicular.)

Módulo y área.

\bigl\lVert\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr\rVert = 6\,\sqrt{4 + 9 + 16} = 6\sqrt{29}

\text{Área} = \frac{6\sqrt{29}}{2} = 3\sqrt{29} \approx 16{,}16 \ \text{unidades cuadradas}

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Consejo

Plano perpendicular a una recta $\Rightarrow$ el normal es el director. No lo confundas con "plano paralelo a la recta", donde el normal sería perpendicular al director. Son situaciones opuestas.

Los cortes con los ejes se obtienen anulando las otras dos coordenadas, y hay que dividir por el coeficiente: en $2x+3y+4z=12$ el corte con $OZ$ es $z=3$ , no $z=12$ .

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial. Y como comprobación gratuita: ese producto tiene que salir proporcional al vector normal del plano $(2,3,4)$ , porque los tres vértices están en él.