Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

B(1,2,-3)

C(9,-1,2)

D(5,0,-1)

y la recta

r \equiv \begin{cases} x+y+1 = 0 \\ \phantom{x+{}}y-z = 0\end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son

B

C

D

.

b) [1,25 puntos] Halla un punto

A

en la recta

r

de forma que el triángulo

ABC

sea rectángulo en

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{BC} = (8,-3,5), \quad \vec{BD} = (4,-2,2), \quad \vec{BC}\times\vec{BD} = (4,4,-4)\;}

\boxed{\;\text{a) Área} = \tfrac12\lVert(4,4,-4)\rVert = \tfrac12\cdot4\sqrt3 = 2\sqrt3 \approx 3{,}46\;}

\boxed{\;\text{b) } A(t) = (-1-t,t,t); \quad \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3(t+2)^{2} = 0 \Rightarrow t = -2\;}

\boxed{\;A = (1,\, -2,\, -2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Área de un triángulo por sus vértices: medio módulo del producto vectorial de dos lados.

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{BC}\times\vec{BD}\bigr\rVert

b) "Rectángulo en $A$ " significa que el ángulo recto está en el vértice $A$ , es decir, $\vec{AB}\perp\vec{AC}$ . Se toma un punto genérico de $r$ , se impone $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$ y sale una ecuación de segundo grado en el parámetro.

Desarrollo

a) Los vectores del triángulo.

\vec{BC} = (9-1,\; -1-2,\; 2+3) = (8,\, -3,\, 5)

\vec{BD} = (5-1,\; 0-2,\; -1+3) = (4,\, -2,\, 2)

El producto vectorial.

\vec{BC}\times\vec{BD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & -3 & 5 \\ 4 & -2 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: (-3)(2)-(5)(-2) = -6+10 = 4

\vec{j}: -\bigl[(8)(2)-(5)(4)\bigr] = -\bigl[16-20\bigr] = 4

\vec{k}: (8)(-2)-(-3)(4) = -16+12 = -4

\vec{BC}\times\vec{BD} = (4,\, 4,\, -4)

El área.

\text{Área} = \frac{1}{2}\sqrt{16+16+16} = \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt3 = 2\sqrt3 \approx 3{,}46 \ \text{u}^{2}

b) La recta $r$ en paramétricas. De

y-z = 0

se tiene

z = y

; de

x+y+1 = 0

x = -1-y

. Tomando

y = t

r: \; A(t) = \bigl(-1-t,\; t,\; t\bigr)

Condición de ángulo recto en $A$ .

\vec{AB} = \bigl(1-(-1-t),\; 2-t,\; -3-t\bigr) = \bigl(2+t,\; 2-t,\; -3-t\bigr)

\vec{AC} = \bigl(9-(-1-t),\; -1-t,\; 2-t\bigr) = \bigl(10+t,\; -1-t,\; 2-t\bigr)

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0

Desarrollando cada producto:

(2+t)(10+t) = t^{2}+12t+20

(2-t)(-1-t) = t^{2}-t-2

(-3-t)(2-t) = t^{2}+t-6

Sumando:

3t^{2}+12t+12 = 0 \;\Longrightarrow\; t^{2}+4t+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (t+2)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2

(Raíz doble: hay un único punto que cumple la condición.)

A = \bigl(-1-(-2),\; -2,\; -2\bigr) = (1,\, -2,\, -2)

Comprobación.

\vec{AB} = (0,\, 4,\, -1) \qquad \vec{AC} = (8,\, 1,\, 4)

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0+4-4 = 0 \quad \checkmark

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Consejo

"Rectángulo en $A$ " fija dónde está el ángulo recto: la condición es $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0$ , con los dos vectores saliendo de $A$ . El error típico es usar un lado de otro vértice (por ejemplo $\vec{AB}\cdot\vec{BC} = 0$ ), que pone el ángulo recto en $B$ .

Fíjate en que $D$ no interviene en el apartado b): es un vértice del primer triángulo, no del segundo. Leer bien qué puntos entran en cada apartado ahorra cálculos inútiles.

Que la ecuación tenga una raíz doble no es un error: significa que solo hay un punto de $r$ desde el que se ve el segmento $\overline{BC}$ bajo un ángulo recto. Geométricamente, la recta es tangente a la esfera de diámetro $\overline{BC}$ .