Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(1,0,-1)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x+y = 0 \\ z-1 = 0\end{cases}

a) [1,5 puntos] Halla la distancia de

P

r

.

b) [1 punto] Determina la ecuación general del plano que pasa por

P

y contiene a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: (t,-t,1), \quad A(0,0,1), \quad \vec{u} = (1,-1,0), \quad \vec{AP} = (1,0,-2)\;}

\boxed{\;\vec{AP}\times\vec{u} = (-2,-2,-1), \quad \lVert\cdot\rVert = 3\;}

\boxed{\;\text{a) } d(P,r) = \frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{n} = (2,2,1) \text{ por } A(0,0,1): \quad 2x+2y+z-1 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero, pasar $r$ a paramétricas para tener un punto

A

y un director

\vec{u}

. Con eso:

a) Fórmula de la distancia punto-recta:

d(P,r) = \frac{\bigl\lVert\vec{AP}\times\vec{u}\bigr\rVert}{\lVert\vec{u}\rVert}

b) El plano contiene a $r$ y pasa por $P$ : su normal debe ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{AP}$ , es decir, $\vec{n} = \vec{AP}\times\vec{u}$ — ¡el mismo producto vectorial que ya hemos calculado en a)!

Aprovechar ese producto vectorial dos veces es lo que hace corto este ejercicio.

Desarrollo

La recta en paramétricas. De

z=1

y = -x

, tomando

x = t

r: \; (t,\; -t,\; 1) \qquad A(0,\,0,\,1), \quad \vec{u} = (1,\, -1,\, 0)

El vector $\vec{AP}$ .

\vec{AP} = (1-0,\; 0-0,\; -1-1) = (1,\, 0,\, -2)

( $P\notin r$ , porque su coordenada $z = -1$ no cumple $z = 1$ . Si estuviera en la recta, la distancia sería $0$ y no habría un plano único.)

El producto vectorial.

\vec{AP}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(0)-(-2)(-1) = -2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(0)-(-2)(1)\bigr] = -2 \qquad \vec{k}: (1)(-1)-(0)(1) = -1

\vec{AP}\times\vec{u} = (-2,\, -2,\, -1)

a) La distancia.

\bigl\lVert\vec{AP}\times\vec{u}\bigr\rVert = \sqrt{4+4+1} = 3 \qquad \lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1+1+0} = \sqrt2

d(P,r) = \frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2{,}12

b) El plano. Contiene a

r

(luego a

\vec{u}

y al punto

A

) y pasa por

P

(luego contiene a

\vec{AP}

). Su normal es perpendicular a los dos:

\vec{n} = \vec{AP}\times\vec{u} = (-2,\, -2,\, -1) \quad \sim \quad (2,\, 2,\, 1)

Imponiendo que pase por

A(0,0,1)

2x+2y+z+D = 0 \;\Longrightarrow\; 0+0+1+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -1

\pi \equiv 2x+2y+z-1 = 0

Comprobaciones.

P(1,0,-1): \quad 2+0-1-1 = 0 \;\checkmark

A(0,0,1): \quad 0+0+1-1 = 0 \;\checkmark

\vec{u}\cdot\vec{n} = (1)(2)+(-1)(2)+(0)(1) = 0 \;\checkmark \quad (\text{la recta es paralela al plano y, con } A\in\pi, \text{ está contenida})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos apartados comparten el mismo producto vectorial $\vec{AP}\times\vec{u}$ : en a) su módulo da la distancia y en b) el propio vector es el normal del plano. Calcúlalo una vez y reutilízalo.

Al pasar la recta a paramétricas, un error frecuente es olvidar que $z$ es constante ( $z=1$ ), no un parámetro. Comprueba siempre que el punto y el director cumplen las dos ecuaciones implícitas.

Racionaliza el resultado: $\frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}$ . Y verifica el plano sustituyendo $P$ y un punto de $r$ : si los dos lo cumplen y $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ , el plano es correcto.