Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta definida por

\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda-2\end{cases}

s

la recta dada por

\begin{cases} x-y = 1 \\ z = -1\end{cases}

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

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Resultado

\boxed{\;r: A(1,1,-2),\ \vec{u} = (0,0,1); \qquad s: B(1,0,-1),\ \vec{v} = (1,1,0)\;}

\boxed{\;\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = (-1,1,0); \qquad \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{se cruzan}\;}

\boxed{\;\text{a) } P(1,1,-1),\ Q\left(\tfrac32,\tfrac12,-1\right): \quad \{x+y = 2,\; z = -1\}\;}

\boxed{\;\text{b) } d(r,s) = \frac{\lvert-1\rvert}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan:

Sacar punto y director de cada recta.
La dirección de la perpendicular común es $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$ .
Tomar puntos genéricos $P\in r$ y $Q\in s$ e imponer que $\vec{PQ}$ sea paralelo a $\vec{w}$ . Se obtienen los dos parámetros y con ellos los pies de la perpendicular.
La distancia es $\lVert\vec{PQ}\rVert$ ; conviene contrastarla con la fórmula del producto mixto.

Aquí las dos rectas son especialmente cómodas:

r

es vertical y

s

está contenida en el plano

z=-1

Desarrollo

La recta $r$ .

A(1,\,1,\,-2), \qquad \vec{u} = (0,\, 0,\, 1)

La recta $s$ . De

z = -1

x = 1+y

, tomando

y = \mu

s: \; (1+\mu,\; \mu,\; -1) \qquad B(1,\,0,\,-1), \qquad \vec{v} = (1,\, 1,\, 0)

¿Se cruzan?

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = (-1,\, 1,\, 0) \neq \vec{0}

\vec{AB} = (0,\, -1,\, 1) \qquad \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = \vec{AB}\cdot\vec{w} = 0-1+0 = -1 \neq 0

\textbf{Se cruzan}

a) La perpendicular común. Puntos genéricos:

P(t) = (1,\; 1,\; t) \qquad Q(\mu) = (1+\mu,\; \mu,\; -1)

\vec{PQ} = \bigl(\mu,\; \mu-1,\; -1-t\bigr)

Para que

\vec{PQ}\parallel(-1,1,0)

Tercera componente nula: $\;-1-t = 0 \Rightarrow t = -1$ .
Proporcionalidad de las dos primeras: $\;\dfrac{\mu}{-1} = \dfrac{\mu-1}{1} \Rightarrow -\mu = \mu-1 \Rightarrow \mu = \dfrac12$ .

P = (1,\, 1,\, -1) \qquad Q = \left(\frac32,\; \frac12,\; -1\right) \qquad \vec{PQ} = \left(\frac12,\, -\frac12,\, 0\right)

(En efecto $\vec{PQ} = -\frac12\,(-1,1,0)$ : paralelo a $\vec{w}$ $\checkmark$ )

La recta perpendicular común, por

P(1,1,-1)

con dirección

(1,-1,0)

\begin{cases} x = 1+\nu \\ y = 1-\nu \\ z = -1\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x+y = 2 \\ z = -1\end{cases}

b) La distancia.

d(r,s) = \lVert\vec{PQ}\rVert = \sqrt{\frac14+\frac14} = \sqrt{\frac12} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71

Comprobación con el producto mixto.

d(r,s) = \frac{\bigl\lvert\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]\bigr\rvert}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{\lvert-1\rvert}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \quad \checkmark

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Consejo

Aunque el enunciado no lo pida explícitamente, comprueba que se cruzan antes de nada: si fueran paralelas habría infinitas perpendiculares comunes, y si se cortaran la perpendicular pasaría por el punto de corte y la distancia sería $0$ . El planteamiento cambia por completo.

Imponer $\vec{PQ}\parallel\vec{u}\times\vec{v}$ (dos ecuaciones) es más rápido que exigir $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 0$ , sobre todo cuando el producto vectorial tiene ceros, como aquí.

Calcula la distancia por los dos caminos: $\lVert\vec{PQ}\rVert$ y la fórmula del producto mixto. Si no coinciden, el error está en los parámetros $t$ y $\mu$ .