Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2024 · Julio

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque D). Considera el plano

\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0

y la recta

r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de

\pi

r

.

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en

\pi

que pasa por el punto

P(2,-1,-2)

y es perpendicular a

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{v}\cdot\vec{n} = 0 \ \text{y} \ A(1,0,1) \in \pi \;\Longrightarrow\; r \subset \pi \ (\text{la recta está contenida en el plano})\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad s \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{5}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el criterio es doble y hay que aplicarlo en dos pasos: primero se compara la dirección de la recta con la normal del plano (

\vec{v}\cdot\vec{n}

), y si el producto es nulo hay que sustituir un punto de la recta para distinguir "paralela" de "contenida". Ese segundo paso es el que decide aquí.

En b) la recta buscada tiene que cumplir dos condiciones sobre su dirección: estar dentro del plano (perpendicular a

\vec{n}

) y ser perpendicular a $r$ (perpendicular a

\vec{v}

). Un vector perpendicular a dos vectores dados es su producto vectorial, así que el director es

\vec{n}\times\vec{v}

. Y conviene comprobar que

P

pertenece a

\pi

: si no, el problema no tendría solución.

Desarrollo

Datos. De la recta se lee directamente

A(1,\ 0,\ 1) \in r, \qquad \vec{v} = (2,\ 1,\ 0)

y del plano,

\vec{n} = (1,\ -2,\ 1)

.

a) Posición relativa.

Paso 1: comparamos dirección y normal:

\vec{v}\cdot\vec{n} = 2\cdot 1 + 1\cdot(-2) + 0\cdot 1 = 2 - 2 + 0 = 0

Al ser nulo, la recta no corta al plano en un único punto: o es paralela o está contenida en él.

Paso 2: sustituimos el punto

A(1,0,1)

en la ecuación del plano:

1 - 2\cdot 0 + 1 - 2 = 0

A \in \pi

. Un punto de la recta está en el plano y la dirección es paralela al plano, luego la recta está contenida en el plano:

r \subset \pi

.

b) La recta pedida.

Comprobación previa:

P(2,-1,-2)

cumple

2 - 2(-1) + (-2) - 2 = 2 + 2 - 2 - 2 = 0

, luego

P \in \pi

y la recta puede existir.

Vector director. Debe ser perpendicular a

\vec{n}

(para estar contenida en

\pi

) y perpendicular a

\vec{v}

(para ser perpendicular a

r

\vec{w} = \vec{n}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right| = (0 - 1)\,\vec{i} - (0 - 2)\,\vec{j} + (1 + 4)\,\vec{k} = (-1,\ 2,\ 5)

Ecuación de la recta, por

P(2,-1,-2)

con dirección

(-1,2,5)

s \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{5} \qquad\text{o bien}\qquad s \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 + 2t \\ z = -2 + 5t \end{cases}

Comprobaciones.

\vec{w}\cdot\vec{n} = -1 - 4 + 5 = 0

✓ (la recta es paralela al plano y, al pasar por

P \in \pi

, está contenida en él).

\vec{w}\cdot\vec{v} = -2 + 2 + 0 = 0

✓ (perpendicular a

r

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ no significa "paralela": hay que sustituir un punto de la recta en el plano para distinguir paralela de contenida. Aquí sale contenida, que es la respuesta completa; quedarse en "son paralelos" es media pregunta.

En b), $\vec{w} = \vec{n}\times\vec{v}$ resuelve las dos condiciones de golpe. Y comprueba que $P$ está en el plano antes de nada: si no lo estuviera, ninguna recta por $P$ podría estar contenida en $\pi$ y el enunciado sería imposible.