Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

P(2,3,1)

Q(0,1,1)

.

a) [1,75 puntos] Halla la ecuación del plano

\pi

respecto del cual

P

Q

son simétricos.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia de

P

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{PQ} = (-2,-2,0) \sim (1,1,0); \qquad M = (1,\,2,\,1)\;}

\boxed{\;\text{a) Plano mediador}: \ (x-1)+(y-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-3 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } d(P,\pi) = \frac{\lvert2+3-3\rvert}{\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2\;}

\boxed{\;\text{Comprobación: } \frac{\lVert\vec{PQ}\rVert}{2} = \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2 \;\checkmark\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El plano respecto del cual dos puntos son simétricos es el plano mediador del segmento $\overline{PQ}$ : pasa por el punto medio y tiene por normal el vector $\vec{PQ}$ .
b) Se puede usar la fórmula de la distancia punto-plano, pero hay un atajo: como $\pi$ es el plano mediador, la distancia de $P$ a $\pi$ es la mitad de la distancia entre $P$ y $Q$ .

d(P,\pi) = \frac{\lVert\vec{PQ}\rVert}{2}

Conviene calcularla de las dos formas y comprobar que coinciden.

Desarrollo

El vector y el punto medio.

\vec{PQ} = (0-2,\; 1-3,\; 1-1) = (-2,\, -2,\, 0) \;\sim\; (1,\, 1,\, 0)

M = \left(\frac{2+0}{2},\; \frac{3+1}{2},\; \frac{1+1}{2}\right) = (1,\, 2,\, 1)

a) El plano mediador. Normal

(1,1,0)

pasando por

M(1,2,1)

1\,(x-1)+1\,(y-2)+0\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-3 = 0

Comprobaciones.

M(1,2,1): \ 1+2-3 = 0 \;\checkmark

P(2,3,1): \ 2+3-3 = 2 \qquad Q(0,1,1): \ 0+1-3 = -2

Los dos valores son opuestos, señal de que

P

Q

están a la misma distancia y en lados contrarios

\;\checkmark

(Nótese que $z$ no aparece: el plano es paralelo al eje $OZ$ , porque $\vec{PQ}$ tiene la tercera componente nula.)

b) La distancia de $P$ a $\pi$ .

d(P,\pi) = \frac{\lvert 2+3-3\rvert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2 \approx 1{,}41

Comprobación por la mitad del segmento.

\lVert\vec{PQ}\rVert = \sqrt{4+4+0} = 2\sqrt2 \;\Longrightarrow\; \frac{\lVert\vec{PQ}\rVert}{2} = \sqrt2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Plano respecto del cual $P$ y $Q$ son simétricos" $=$ plano mediador: punto medio y normal $\vec{PQ}$ . No lo confundas con el plano que contiene a $P$ y $Q$ , que ni siquiera sería único.

Puedes simplificar el normal $(-2,-2,0)$ a $(1,1,0)$ : es el mismo plano y las cuentas quedan más limpias.

El atajo de b): la distancia al plano mediador es la mitad de $\lVert\vec{PQ}\rVert$ . Calcularla también con la fórmula y ver que coinciden valida los dos apartados de golpe.