Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4. Considera el tetraedro de vértices

A(0,0,0)

B(1,1,0)

C(0,1,3)

D(1,0,3)

.

a) [1 punto] Calcula el volumen de dicho tetraedro.

b) [1,5 puntos] Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice

A

de dicho tetraedro.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad V = \frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right| = \frac{6}{6} = 1 \ \text{u}^{3}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad h = \frac{3V}{\text{Área}(BCD)} = \frac{6}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1{,}38\;}

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Estrategia

Con un vértice en el origen, el producto mixto se simplifica: los tres vectores son directamente las coordenadas de

B

C

D

, sin necesidad de restar.

Para la altura, la clave es relacionar las dos fórmulas del volumen:

V = \frac{1}{6}\bigl|[\,\vec{u},\vec{v},\vec{w}\,]\bigr| \qquad \text{y} \qquad V = \frac{1}{3}\cdot\text{área de la base}\cdot\text{altura}

La altura desde

A

se apoya en la cara opuesta, que es el triángulo

BCD

. Despejando,

h = \frac{3V}{\text{área}(BCD)}

Desarrollo

a) Producto mixto. Con

A

en el origen,

\vec{AB} = (1,1,0)

\vec{AC} = (0,1,3)

\vec{AD} = (1,0,3)

\bigl[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,(1\cdot 3 - 3\cdot 0) - 1\,(0\cdot 3 - 3\cdot 1) + 0 = 3 - (-3) = 6

V = \frac{1}{6}\,|6| = 1 \ \text{unidad cúbica}

b) Área de la cara opuesta a $A$ . Esa cara es el triángulo

BCD

\vec{BC} = C - B = (-1,\, 0,\, 3), \qquad \vec{BD} = D - B = (0,\, -1,\, 3)

\vec{BC}\times\vec{BD} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{array}\right|

\vec{i}: \; 0\cdot 3 - 3\cdot(-1) = 3 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(-1)(3) - 3\cdot 0\bigr] = 3 \qquad \vec{k}: \; (-1)(-1) - 0 = 1

\vec{BC}\times\vec{BD} = (3,\, 3,\, 1), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}

\text{Área}(BCD) = \frac{\sqrt{19}}{2}

Altura.

h = \frac{3V}{\text{Área}(BCD)} = \frac{3\cdot 1}{\dfrac{\sqrt{19}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1{,}38 \ \text{unidades}

(Comprobación: con esa altura y esa base, $V = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{19}}{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{19}} = \frac{1}{3}\cdot 3 = 1\;\checkmark$ )

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Consejo

La altura desde $A$ se apoya en la cara opuesta a $A$ , es decir, en el triángulo $BCD$ . Calcular el área de $ABC$ o de cualquier otra cara es el error más frecuente aquí: el resultado sale distinto y no responde a la pregunta.

Y no confundas los factores: el tetraedro lleva $\frac{1}{6}$ del producto mixto, pero la relación con la altura usa $\frac{1}{3}$ del área de la base. De ahí que aparezca el $3$ al despejar $h = 3V/\text{área}$ .