Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos

A(0,2,3)

B(m,0,1)

C(2,1,2)

.

a) [1,5 puntos] Halla los valores de

m

, sabiendo que el área del triángulo es

\dfrac{\sqrt{18}}{2}

unidades cuadradas.

b) [1 punto] Para

m = 0

, calcula el coseno del ángulo en el vértice

A

de dicho triángulo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{2}\,|m-4| \;\Longrightarrow\; m = 7 \quad \text{o} \quad m = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \cos A = \frac{4}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados usan los mismos dos vectores

\vec{AB}

\vec{AC}

, pero con operaciones distintas:

El área es la mitad del módulo del producto vectorial.
El ángulo sale del producto escalar.

En a) el producto vectorial da un vector sorprendentemente simple, con la primera componente nula y las otras dos opuestas. Eso hace que el módulo se reduzca a

\sqrt{2}\,|m-4|

y la ecuación quede limpia, con dos soluciones por el valor absoluto.

En b), ojo a qué vértice se refiere el ángulo: "en el vértice

A

" significa el que forman los vectores que salen de $A$ , es decir

\vec{AB}

\vec{AC}

Desarrollo

Vectores.

\vec{AB} = B - A = (m,\, -2,\, -2), \qquad \vec{AC} = C - A = (2,\, -1,\, -1)

a) Producto vectorial.

\vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ m & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (-2)(-1) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[m(-1) - (-2)(2)\Bigr] = -\bigl[-m + 4\bigr] = m - 4

\vec{k}: \; m(-1) - (-2)(2) = -m + 4 = 4 - m

\vec{AB} \times \vec{AC} = \bigl(0,\; m-4,\; 4-m\bigr)

Módulo.

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{0 + (m-4)^{2} + (4-m)^{2}} = \sqrt{2\,(m-4)^{2}} = \sqrt{2}\;\bigl|m - 4\bigr|

Condición del área.

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \frac{\sqrt{2}\,|m-4|}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2}

Como

\sqrt{18} = 3\sqrt{2}

\sqrt{2}\,|m-4| = 3\sqrt{2} \;\Longrightarrow\; |m - 4| = 3

m - 4 = 3 \;\Longrightarrow\; m = 7 \qquad\qquad m - 4 = -3 \;\Longrightarrow\; m = 1

(Los dos valores son válidos: en ambos el producto vectorial es no nulo, así que los tres puntos no están alineados y el triángulo existe de verdad.)

b) Caso $m = 0$ . Entonces

B(0,0,1)

\vec{AB} = (0,\, -2,\, -2), \qquad \vec{AC} = (2,\, -1,\, -1)

Producto escalar.

\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 0\cdot 2 + (-2)(-1) + (-2)(-1) = 0 + 2 + 2 = 4

Módulos.

\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \qquad \bigl\lVert\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

Coseno del ángulo.

\cos A = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert\,\bigl\lVert\vec{AC}\bigr\rVert} = \frac{4}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

\cos A = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 \qquad (A \approx 54{,}7^{\circ})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No mezcles las dos herramientas: el área va con el producto vectorial (y su mitad), el ángulo con el producto escalar. Es el error conceptual más frecuente en este tipo de ejercicio, y se detecta enseguida porque las unidades no cuadran.

Simplifica $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ antes de despejar: así los $\sqrt{2}$ se cancelan y queda $|m-4| = 3$ , limpio. Y no te dejes la segunda solución: el valor absoluto siempre desdobla la ecuación en dos casos.