Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1). a) [1,25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = z que verifica que el triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación \;2x-y+3z = 6\; con el eje OX.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,0,2)

B(1,2,-1)

.

a) [1,25 puntos] Halla un punto

C

de la recta de ecuación

\frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = z

que verifica que el triángulo de vértices

A

B

C

tiene un ángulo recto en $B$ .

b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices

A

B

D

, donde

D

es el punto de corte del plano de ecuación

\;2x-y+3z = 6\;

con el eje $OX$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;C(t) = (1+3t,\, 2t,\, t); \quad \vec{BA} = (0,-2,3), \ \vec{BC} = (3t,\,2t-2,\,t+1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{BA}\cdot\vec{BC} = -t+7 = 0 \Rightarrow t = 7 \Rightarrow C(22,\,14,\,7)\;}

\boxed{\;\text{Eje } OX \ (y=z=0): \ 2x = 6 \Rightarrow D(3,0,0)\;}

\boxed{\;\vec{AB}\times\vec{AD} = (-4,-6,-4), \ \text{Área} = \frac{2\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}\approx4{,}12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) "Ángulo recto en $B$ " significa que los vectores que salen de $B$ son perpendiculares:

\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 0

Con

C

genérico de la recta queda una ecuación de primer grado en el parámetro.

b) El eje $OX$ es $\{y = 0,\ z = 0\}$ : se sustituye en el plano y sale $D$ de inmediato. Después, área $=\frac12\bigl|\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr|$ .

Desarrollo

La recta. De

\;\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}

\vec{u} = (3,\,2,\,1) \qquad P_{0}(1,\,0,\,0) \qquad C(t) = (1+3t,\; 2t,\; t)

a) El ángulo recto en $B$ .

\vec{BA} = A-B = (0,\; -2,\; 3)

\vec{BC} = C-B = (3t,\; 2t-2,\; t+1)

\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 0\cdot3t+(-2)(2t-2)+3\,(t+1) = -4t+4+3t+3 = -t+7

-t+7 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 7

C = (1+21,\; 14,\; 7) = (22,\; 14,\; 7)

Comprobación.

\;\vec{BC} = (21,\, 12,\, 8)

\vec{BA}\cdot\vec{BC} = 0-24+24 = 0 \;\checkmark

(Y $C$ está en la recta: $\frac{22-1}{3} = 7$ , $\frac{14}{2} = 7$ , $z = 7$ $\checkmark$ )

b) El punto $D$ . El eje

OX

tiene

y = 0

z = 0

2x-0+0 = 6 \;\Longrightarrow\; x = 3 \;\Longrightarrow\; D(3,\,0,\,0)

El área del triángulo $ABD$ .

\vec{AB} = B-A = (0,\; 2,\; -3) \qquad \vec{AD} = D-A = (2,\; 0,\; -2)

\vec{AB}\times\vec{AD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(-2)-(-3)(0) = -4 \qquad \vec{j}: -\bigl[(0)(-2)-(-3)(2)\bigr] = -6 \qquad \vec{k}: (0)(0)-(2)(2) = -4

\vec{AB}\times\vec{AD} = (-4,\, -6,\, -4)

\bigl|\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr| = \sqrt{16+36+16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}

\text{Área} = \frac{2\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \ \text{u}^{2}

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Consejo

"Ángulo recto en $B$ " fija qué vectores usar: los que parten de $B$ , es decir $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ . Con $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ estarías imponiendo el ángulo en $A$ .

El eje $OX$ es la recta $y = z = 0$ (no " $x=0$ "). Sustituirlo en el plano deja una única ecuación con una incógnita.

Área del triángulo $=\frac12\bigl|\vec{u}\times\vec{v}\bigr|$ . Aquí $\sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ , y el $2$ se cancela con el denominador: el resultado es exactamente $\sqrt{17}$ .