Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas r y s dadas por r \equiv x - 2 = y - 2 = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 4 + t \\ z = m\,t\end{cases} a) [1 punto] Determina m para que r y s sean paralelas. b) [0,5 puntos] Halla, si existe, un valor de m para el que ambas rectas sean la misma. c) [1 punto] Para m = 1, calcula la ecuación del plano que contiene a r y a s.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r

s

dadas por

r \equiv x - 2 = y - 2 = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 4 + t \\ z = m\,t\end{cases}

a) [1 punto] Determina

m

para que

r

s

sean paralelas.

b) [0,5 puntos] Halla, si existe, un valor de

m

para el que ambas rectas sean la misma.

c) [1 punto] Para

m = 1

, calcula la ecuación del plano que contiene a

r

y a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: R(2,2,0),\, \vec{u} = (1,1,1); \qquad s: S(4,4,0),\, \vec{v} = (1,1,m)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{u} \parallel \vec{v} \;\Longleftrightarrow\; m = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad S \notin r \;\Longrightarrow\; \text{no existe tal } m \text{ (son paralelas distintas)}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{RS} = (-2,2,0) \parallel (1,-1,0) \;\Longrightarrow\; x - y = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados forman una escalera:

a) Paralelas $\Longleftrightarrow$ directores proporcionales. Da una condición sobre $m$ .
b) Coincidentes $\Longleftrightarrow$ paralelas y además con un punto común. Como el paralelismo ya fija $m$ , basta comprobar si un punto de $s$ pertenece a $r$ : si no, no hay ningún $m$ válido.
c) Con $m=1$ son paralelas y distintas, así que sí determinan un plano único. Su normal es perpendicular al director común y al vector que une un punto de cada recta: $\vec{u}\times\vec{RS}$ .

Desarrollo

Elementos.

r: \quad R(2,\, 2,\, 0), \qquad \vec{u} = (1,\, 1,\, 1)

s: \quad S(4,\, 4,\, 0), \qquad \vec{v} = (1,\, 1,\, m)

a) Paralelismo. Los directores deben ser proporcionales:

\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{m} \;\Longrightarrow\; m = 1

m = 1

(Con cualquier otro $m$ , la tercera componente rompe la proporción.)

b) ¿Pueden ser la misma recta? Para que coincidan tienen que ser paralelas —lo que obliga a

m=1

— y compartir todos sus puntos. Comprobamos si

S(4,4,0)

pertenece a

r

x - 2 = 4 - 2 = 2, \qquad y - 2 = 4 - 2 = 2, \qquad z = 0

Las tres cantidades deberían coincidir, y

2 \neq 0

S \notin r

\textbf{No existe ningún } m \text{ para el que } r \text{ y } s \text{ sean la misma recta.}

(Con $m=1$ son paralelas distintas; con $m \neq 1$ ni siquiera son paralelas.)

c) Caso $m = 1$ : el plano que las contiene. Al ser paralelas y distintas, determinan un único plano. Su normal debe ser perpendicular al director común

\vec{u}

y al vector

\vec{RS} = S - R = (2,\, 2,\, 0)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RS} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(0) - (1)(2) = -2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(0) - (1)(2)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: \; (1)(2) - (1)(2) = 0

\vec{n} = (-2,\, 2,\, 0) \;\parallel\; (1,\, -1,\, 0)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(2,2,0)

1\,(x - 2) - 1\,(y - 2) + 0\,z = 0 \;\Longrightarrow\; x - y = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : el punto genérico es $(2+\lambda,\, 2+\lambda,\, \lambda)$ , y $(2+\lambda) - (2+\lambda) = 0\;\checkmark$
Contiene a $s$ (con $m=1$ ): el punto genérico es $(4+t,\, 4+t,\, t)$ , y $(4+t) - (4+t) = 0\;\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dos rectas coincidentes cumplen dos cosas: son paralelas y tienen un punto común. Comprobar solo la primera lleva a responder " $m=1$ " en el apartado b), que es incorrecto: con $m=1$ son paralelas pero distintas.

Para el plano que contiene a dos rectas paralelas, el normal no es $\vec{u}\times\vec{v}$ (¡sería el vector nulo, porque son proporcionales!). Hay que usar $\vec{u}\times\vec{RS}$ , con $\vec{RS}$ uniendo un punto de cada recta.

El plano $x - y = 0$ no contiene la variable $z$ : es un plano vertical (de hecho contiene al eje $OZ$ , porque pasa por el origen). Es coherente con los datos: en las dos rectas la $x$ y la $y$ son siempre iguales, que es justo lo que dice la ecuación $x = y$ .