Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

\pi_{3}

dados respectivamente por las ecuaciones

x+y = 1, \qquad a y+z = 0 \qquad \text{y} \qquad x+(1+a)y+a z = a+1

a) [1,5 puntos] ¿Cuánto ha de valer

a

para que no tengan ningún punto en común?

b) [1 punto] Para

a = 0

, determina la posición relativa de los planos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = a^{2}-a = a\,(a-1) = 0 \iff a = 0, \ a = 1\;}

\boxed{\;a = 1: \ F_{3} = F_{1}+F_{2} \text{ en coeficientes pero } 1 \neq 2 \Rightarrow \operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*}\;}

\boxed{\;\text{a) } a = 1 \text{ (sin puntos comunes)}\;}

\boxed{\;\text{b) } a = 0: \ \pi_{1} = \pi_{3} \text{ y } \pi_{2} \text{ secante} \Rightarrow \text{recta común } \{x+y = 1,\ z = 0\}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres planos tienen puntos comunes

\iff

el sistema formado por sus tres ecuaciones es compatible. Así que la posición relativa se lee de los rangos:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\to\; \text{un único punto}

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\to\; \text{una recta común}

\operatorname{rg}M \neq \operatorname{rg}M^{*} \;\to\; \textbf{sin puntos comunes}

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1+a & a\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ a+1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\bigl[a\cdot a-1\,(1+a)\bigr]-1\bigl[0\cdot a-1\cdot1\bigr]+0

= a^{2}-1-a+1 = a^{2}-a = a\,(a-1)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 0 \quad \text{o} \quad a = 1

Caso $a\neq0$ y $a\neq1$ :

\;\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3

: los tres planos se cortan en un único punto. Sí tienen punto común.

a) El caso $a = 1$ .

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right)

En los coeficientes se cumple

F_{3} = F_{1}+F_{2}

(1,\,1,\,0)+(0,\,1,\,1) = (1,\,2,\,1) \;\checkmark

pero en los términos independientes no:

\;1+0 = 1 \neq 2

\operatorname{rg}M = 2 \qquad \operatorname{rg}M^{*} = 3

\textbf{Sistema incompatible: no tienen ningún punto en común}

a = 1

El caso $a = 0$ (para completar la discusión y responder a b)):

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)

Aquí

F_{3} = F_{1}

también en el término independiente:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \text{compatible indeterminado}

Así que sí tienen puntos comunes. Por tanto, el único valor pedido en a) es

a = 1

.

b) Posición relativa para $a = 0$ . Los planos quedan

\pi_{1}\colon x+y = 1 \qquad \pi_{2}\colon z = 0 \qquad \pi_{3}\colon x+y = 1

\boxed{\pi_{1} = \pi_{3}} \quad \text{(son el mismo plano)}

\pi_{2}

no es paralelo a ellos (sus normales,

(0,0,1)

(1,1,0)

, no son proporcionales), así que los corta.

\textbf{Dos planos coincidentes y un tercero secante: se cortan en una recta}

Esa recta común es

\begin{cases} x+y = 1 \\ z = 0\end{cases}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Sin ningún punto en común" $=$ sistema incompatible. La discusión de tres planos es la misma que la de un sistema $3\times3$ : solo cambia el vocabulario geométrico.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos: con $a=1$ no hay solución y con $a=0$ hay infinitas. Hay que analizar los dos antes de responder.

Para nombrar la posición relativa, mira también cuáles planos coinciden: con $a=0$ , $\pi_{1}$ y $\pi_{3}$ son literalmente el mismo plano, y eso es parte de la respuesta.