Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-k}{2} = \frac{z}{2} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-3}{1}

a) [1,5 puntos] Halla

k

sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.

b) [1 punto] Para

k = 1

, halla la ecuación general del plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (1,2,2), \; \vec{v} = (-1,1,1) \text{ nunca proporcionales}; \qquad \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 3k + 6\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 3k + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; k = -2 \quad (\text{se cortan en } (2,-2,0))\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} \parallel (0,-1,1) \;\Longrightarrow\; y - z - 1 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), dos rectas se cortan cuando no son paralelas y sus dos puntos y dos directores son coplanarios, es decir, cuando el producto mixto

\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \vec{RS}\bigr]

vale cero. Como el parámetro

k

aparece en el punto de

r

, el mixto quedará en función de

k

y basta igualarlo a cero.

En b), con

k=1

las rectas ya no se cortan (se cruzan), y el plano pedido debe contener a

r

y llevar la dirección de

s

: su normal es perpendicular a los dos directores, luego es

\vec{u}\times\vec{v}

Desarrollo

Elementos de las rectas.

r: \quad R(2,\, k,\, 0), \quad \vec{u} = (1,\, 2,\, 2) \qquad\qquad s: \quad S(-1,\, 1,\, 3), \quad \vec{v} = (-1,\, 1,\, 1)

¿Paralelas?

\vec{u}

\vec{v}

no son proporcionales (

1/(-1) = -1

pero

2/1 = 2

), luego nunca lo son, sea cual sea

k

. Así que solo caben "se cortan" o "se cruzan".

a) Producto mixto.

\vec{RS} = S - R = (-3,\; 1-k,\; 3)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & 1-k & 3\end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl[3 - (1-k)\bigr] - 2\bigl[-3 + 3\bigr] + 2\bigl[(-1)(1-k) + 3\bigr]

= (2 + k) - 0 + 2\,(k + 2) = 3k + 6

Condición de corte.

3k + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; k = -2

Comprobación con $k = -2$ . Las paramétricas son

r \equiv (2+t,\; -2+2t,\; 2t)

s \equiv (-1-\lambda,\; 1+\lambda,\; 3+\lambda)

. Igualando la primera coordenada,

\lambda = -3 - t

; llevándolo a la segunda,

-2 + 2t = 1 + \lambda = 1 - 3 - t = -2 - t \;\Longrightarrow\; 3t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0,\; \lambda = -3

y la tercera cuadra:

z_{r} = 0

z_{s} = 3 - 3 = 0\;\checkmark

. El punto de corte es

(2, -2, 0)

.

b) Caso $k = 1$ . Ahora

R(2,1,0)

, y como

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 3\cdot 1 + 6 = 9 \neq 0

, las rectas se cruzan.

Normal del plano. Debe ser perpendicular a

\vec{u}

(porque el plano contiene a

r

) y a

\vec{v}

(porque es paralelo a

s

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(1) - (2)(1) = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(1)(1) - (2)(-1)\Bigr] = -(1 + 2) = -3

\vec{k}: \; (1)(1) - (2)(-1) = 1 + 2 = 3

\vec{n} = (0,\, -3,\, 3) \;\parallel\; (0,\, -1,\, 1)

Ecuación, imponiendo el paso por $R(2,1,0)$ .

0\,(x-2) - 1\,(y-1) + 1\,(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; -y + 1 + z = 0

y - z - 1 = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : el punto genérico $(2+t,\, 1+2t,\, 2t)$ da $(1+2t) - 2t - 1 = 0\;\checkmark$ para todo $t$ .
Es paralelo a $s$ y no la contiene: $\vec{n}\cdot\vec{v} = 0 - 1 + 1 = 0\;\checkmark$ , y $S(-1,1,3)$ da $1 - 3 - 1 = -3 \neq 0\;\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba primero que las rectas no puedan ser paralelas. Si lo fueran, el producto mixto sería nulo para todo $k$ y la condición "se cortan en un punto" no tendría sentido. Descartarlo en una línea deja la discusión bien fundamentada.

En b), el plano contiene a $r$ y es paralelo a $s$ : por eso el normal es el producto vectorial de los dos directores, y el plano se hace pasar por un punto de $r$ (no de $s$ ). Si lo hicieras pasar por $S$ , obtendrías el plano paralelo que contiene a $s$ , que es otro.

Y añade la comprobación de que $s$ no está contenida en el plano: solo entonces se puede decir que es paralela. Es el mismo cuidado que con la relación recta-plano de siempre.