Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1). a) [1,25 puntos] ¿Existe algún valor de k para el que los vectores \vec{AB}, \vec{BC} y \vec{CD} sean linealmente dependientes? b) [1,25 puntos] Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(-1,k,3)

B(k+1,0,2)

C(1,2,0)

D(2,0,1)

.

a) [1,25 puntos] ¿Existe algún valor de

k

para el que los vectores

\vec{AB}

\vec{BC}

\vec{CD}

sean linealmente dependientes?

b) [1,25 puntos] Calcula los valores de

k

para los que los puntos

A

B

C

D

forman un tetraedro de volumen $1$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (k+2,-k,-1), \ \vec{BC} = (-k,2,-2), \ \vec{CD} = (1,-2,1)\;}

\boxed{\;\det(\vec{AB},\vec{BC},\vec{CD}) = -k^{2}-2k-2; \ \ \Delta<0 \Rightarrow \text{nunca dependientes}\;}

\boxed{\;\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}) = -k^{2}-2k-2, \quad V = \frac{k^{2}+2k+2}{6}\;}

\boxed{\;V = 1 \Rightarrow k^{2}+2k-4 = 0 \Rightarrow k = -1\pm\sqrt5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se reducen a un determinante $3\times3$ con parámetro:

a) Tres vectores son linealmente dependientes $\iff$ su determinante vale $0$ .
b) El volumen del tetraedro es $\dfrac16\bigl|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\bigr|$ .

Y aquí ocurre algo llamativo: los dos determinantes coinciden, lo que enlaza los apartados (y no es casualidad, como se ve al final de b).

Desarrollo

Los vectores.

\vec{AB} = B-A = (k+2,\; -k,\; -1)

\vec{BC} = C-B = (-k,\; 2,\; -2)

\vec{CD} = D-C = (1,\; -2,\; 1)

a) El determinante.

\det\bigl(\vec{AB},\vec{BC},\vec{CD}\bigr) = \begin{vmatrix} k+2 & -k & -1 \\ -k & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

(k+2)\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 1\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} -k & -2 \\ 1 & 1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} -k & 2 \\ 1 & -2\end{vmatrix}

= (k+2)(2-4)+k\,(-k+2)-(2k-2)

= -2k-4-k^{2}+2k-2k+2 = -k^{2}-2k-2

¿Se anula?

-k^{2}-2k-2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; k^{2}+2k+2 = 0

\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4 < 0

\textbf{No existe ningún } k \textbf{ real: los tres vectores son siempre independientes}

(De hecho $k^{2}+2k+2 = (k+1)^{2}+1 \geq 1 > 0$ .)

b) El volumen.

\vec{AB} = (k+2,\, -k,\, -1) \qquad \vec{AC} = C-A = (2,\; 2-k,\; -3) \qquad \vec{AD} = D-A = (3,\; -k,\; -2)

\det\bigl(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr) = \begin{vmatrix} k+2 & -k & -1 \\ 2 & 2-k & -3 \\ 3 & -k & -2\end{vmatrix}

= (k+2)\bigl[-2\,(2-k)-3k\bigr]+k\,\bigl[-4+9\bigr]-\bigl[-2k-3\,(2-k)\bigr]

= (k+2)(-4-k)+5k-(k-6) = -k^{2}-6k-8+4k+6 = -k^{2}-2k-2

¡El mismo determinante que en a)! No es casualidad: como

\vec{AC} = \vec{AB}+\vec{BC}

\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}

, basta restar columnas (lo que no cambia el determinante) para pasar de un determinante al otro:

\det\bigl(\vec{AB},\,\vec{AB}+\vec{BC},\,\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}\bigr) = \det\bigl(\vec{AB},\vec{BC},\vec{CD}\bigr)

Y como nunca se anula, los cuatro puntos nunca son coplanarios: siempre forman tetraedro.

Imponiendo el volumen.

V = \frac16\bigl|-k^{2}-2k-2\bigr| = \frac{k^{2}+2k+2}{6} = 1

(el valor absoluto se quita porque $k^{2}+2k+2>0$ siempre)

k^{2}+2k+2 = 6 \;\Longrightarrow\; k^{2}+2k-4 = 0

k = \frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2} = \frac{-2\pm2\sqrt5}{2} = -1\pm\sqrt5

k_{1} = -1+\sqrt5 \approx 1{,}236 \qquad k_{2} = -1-\sqrt5 \approx -3{,}236

Comprobación con

k = -1+\sqrt5

\;k^{2}+2k+2 = (k+1)^{2}+1 = 5+1 = 6

, luego

V = \frac66 = 1

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Linealmente dependientes" se traduce siempre en determinante nulo. Y si la ecuación no tiene solución real, la respuesta correcta es "no existe tal $k$ ": justifícalo con el discriminante, no dejes la ecuación sin resolver.

Ojo con los vectores de cada apartado: en a) son $\vec{AB},\vec{BC},\vec{CD}$ (encadenados) y en b) $\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}$ (todos desde $A$ ). Que salga el mismo determinante no es casualidad: $\vec{AC} = \vec{AB}+\vec{BC}$ y $\vec{AD} = \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}$ , y sumar a una columna otra no cambia el determinante. Pasa con cuatro puntos cualesquiera.

Al despejar el volumen, comprueba el signo de lo que hay dentro del valor absoluto. Aquí $k^{2}+2k+2 = (k+1)^{2}+1 > 0$ , así que se puede quitar sin abrir dos casos.