Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2014 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea

r

la recta definida por

\begin{cases} x+2y-z = 3 \\ 2x-y+z = 1\end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación general del plano que contiene a

r

y pasa por el origen de coordenadas.

b) [1 punto] Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a

r

en el punto

(1,1,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-3,-5); \qquad A(1,1,0)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{OA}\times\vec{u} = (-5,5,-4): \quad 5x-5y+4z = 0\;}

\boxed{\;\text{b) Normal } = \vec{u}: \ x-3y-5z+2 = 0; \quad \vec{w_{1}} = (3,1,0),\ \vec{w_{2}} = (5,0,1)\;}

\boxed{\;(x,y,z) = (1,1,0)+\lambda\,(3,1,0)+\mu\,(5,0,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hay que sacar punto y director de

r

, que viene dada como intersección de dos planos:

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}

Luego:

a) El plano contiene a $r$ y al origen $O$ : contiene las direcciones $\vec{u}$ y $\vec{OA}$ (con $A\in r$ ). Su normal es $\vec{OA}\times\vec{u}$ , y como pasa por $O$ , el término independiente es $0$ .
b) Plano perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ su normal es $\vec{u}$ . Pero se piden paramétricas, así que además hay que elegir dos vectores independientes ortogonales a $\vec{u}$ .

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales son

\vec{n_{1}} = (1,2,-1)

\vec{n_{2}} = (2,-1,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(1)-(-1)(-1) = 2-1 = 1

\vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(-1)(2)\bigr] = -\bigl[1+2\bigr] = -3

\vec{k}: (1)(-1)-(2)(2) = -1-4 = -5

\vec{u} = (1,\, -3,\, -5)

Un punto de $r$ . Con

z=0

\;x+2y = 3

2x-y = 1

. Resolviendo,

x = 1

y = 1

A(1,\,1,\,0) \qquad (\text{es justo el punto que aparece en el apartado b})

a) El plano por $r$ y por el origen. Contiene

\vec{u}

\vec{OA} = (1,1,0)

\vec{n} = \vec{OA}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & -5\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-5)-(0)(-3) = -5 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(-5)-(0)(1)\bigr] = 5 \qquad \vec{k}: (1)(-3)-(1)(1) = -4

\vec{n} = (-5,\, 5,\, -4) \;\sim\; (5,\, -5,\, 4)

Como pasa por el origen, el término independiente es

0

5x-5y+4z = 0

Comprobaciones.

\;A(1,1,0)

\;5-5+0 = 0\;\checkmark

\;\vec{u}\cdot(5,-5,4) = 5+15-20 = 0\;\checkmark

b) El plano perpendicular a $r$ por $(1,1,0)$ . Su normal es

\vec{u} = (1,-3,-5)

, luego su ecuación general sería

1(x-1)-3(y-1)-5(z-0) = 0 \;\Longrightarrow\; x-3y-5z+2 = 0

Para las paramétricas hacen falta dos vectores independientes ortogonales a $\vec{u}$ . Se eligen a ojo poniendo un cero:

\vec{w_{1}} = (3,\, 1,\, 0): \quad \vec{u}\cdot\vec{w_{1}} = 3-3+0 = 0 \;\checkmark

\vec{w_{2}} = (5,\, 0,\, 1): \quad \vec{u}\cdot\vec{w_{2}} = 5-0-5 = 0 \;\checkmark

(No son proporcionales, así que generan el plano.)

\begin{cases} x = 1+3\lambda+5\mu \\ y = 1+\phantom{3}\lambda \\ z = \phantom{1+3\lambda+{}}\mu\end{cases} \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}

Comprobación en

x-3y-5z+2 = 0

(1+3\lambda+5\mu)-3(1+\lambda)-5\mu+2 = 1+3\lambda+5\mu-3-3\lambda-5\mu+2 = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Contener a la recta y ser perpendicular a la recta son condiciones opuestas: en a) el normal es perpendicular a $\vec{u}$ ; en b) el normal es $\vec{u}$ . Tenerlo claro evita confundir los dos apartados.

Al resolver el sistema para hallar un punto de $r$ , sale precisamente $(1,1,0)$ , el que menciona el apartado b). Es una confirmación de que ese punto pertenece a la recta, como debe.

Para dar paramétricas de un plano no basta el normal: hacen falta un punto y dos direcciones del plano. Elígelas poniendo un cero en una componente y comprueba que el producto escalar con el normal es cero.