Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,0,-1)

B(2,1,0)

, y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x+y = 1 \\ x+z = 2\end{cases}

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a $r$ y pasa por

A

B

.

b) [0,75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos

P(1,2,1)

Q(3,4,1)

está contenida en dicho plano.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (1,-1,-1); \qquad \vec{AB} = (1,1,1)\;}

\boxed{\;\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{u} = (0,2,-2)\sim(0,1,-1)\;}

\boxed{\;\pi\colon y-z-1 = 0 \quad (A, B \in\pi; \ (0,1,2)\in r \text{ da } -2\neq0)\;}

\boxed{\;P(1,2,1): 0 \ \checkmark; \quad Q(3,4,1): 2\neq0 \;\Longrightarrow\; PQ \text{ NO está contenida}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El plano queda determinado por un punto ( $A$ ) y dos direcciones: $\vec{AB}$ (porque contiene a $B$ ) y $\vec{u}$ , el director de $r$ (porque es paralelo a ella). El normal es su producto vectorial.
b) Una recta está contenida en un plano $\iff$ dos de sus puntos lo cumplen. Basta comprobar $P$ y $Q$ en la ecuación: si uno falla, la respuesta es no.

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales de sus dos planos son

\vec{n_{1}} = (1,1,0)

\vec{n_{2}} = (1,0,1)

\vec{u} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(1)-(0)(0) = 1 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(1)-(0)(1)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: (1)(0)-(1)(1) = -1

\vec{u} = (1,\, -1,\, -1)

a) El plano.

\vec{AB} = B-A = (2-1,\; 1-0,\; 0-(-1)) = (1,\; 1,\; 1)

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-1)-(1)(-1) = 0 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(-1)-(1)(1)\bigr] = 2 \qquad \vec{k}: (1)(-1)-(1)(1) = -2

\vec{n} = (0,\, 2,\, -2) \;\sim\; (0,\, 1,\, -1)

Con el punto

A(1,0,-1)

0\,(x-1)+1\,(y-0)-1\,(z+1) = 0 \;\Longrightarrow\; y-z-1 = 0

\pi\colon\; y-z-1 = 0

Comprobaciones.

A(1,0,-1): \ 0+1-1 = 0 \;\checkmark \qquad B(2,1,0): \ 1-0-1 = 0 \;\checkmark

Un punto de $r$ (con

x=0

y=1

z=2

), es decir

(0,1,2)

1-2-1 = -2 \neq 0 \;\checkmark

(Esto confirma que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.)

b) La recta $PQ$ .

P(1,2,1): \quad 2-1-1 = 0 \;\checkmark \quad \text{(sí está en } \pi)

Q(3,4,1): \quad 4-1-1 = 2 \neq 0 \quad \text{(NO está en } \pi)

\textbf{La recta } PQ \textbf{ NO está contenida en } \pi

(Como $P\in\pi$ y $Q\notin\pi$ , la recta corta al plano exactamente en $P$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Paralelo a $r$ " aporta una dirección al plano ( $\vec u$ ), no una condición de perpendicularidad. Junto con $\vec{AB}$ ya tienes las dos direcciones que necesitas.

Para b) no hace falta calcular la recta $PQ$ : basta sustituir los dos puntos en la ecuación del plano. Si los dos la cumplen, está contenida; si falla uno, no.

Comprueba siempre que un punto de $r$ no cumple la ecuación. Si la cumpliera, el plano contendría a $r$ en vez de ser paralelo a ella, y eso suele descontar.