Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos A(-1,-2,-1) y B(1,0,1). a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de P(-1,0,1) a la recta que pasa por los puntos A y B.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(-1,-2,-1)

B(1,0,1)

.

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos

A

B

son simétricos.

b) [1,25 puntos] Calcula la distancia de

P(-1,0,1)

a la recta que pasa por los puntos

A

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (2,2,2)\parallel(1,1,1), \qquad M = (0,-1,0)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi \equiv x + y + z + 1 = 0 \quad (\text{plano mediador de } AB)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(P,r) = \frac{\lVert\vec{AP}\times\vec{AB}\rVert}{\lVert\vec{AB}\rVert} = \frac{4\sqrt2}{2\sqrt3} = \frac{2\sqrt6}{3} \approx 1{,}63\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El plano respecto del cual $A$ y $B$ son simétricos es el plano mediador del segmento $AB$ : pasa por el punto medio y tiene por normal el vector $\vec{AB}$ .
b) Distancia de un punto a una recta con la fórmula del producto vectorial:

d(P, r) = \frac{\bigl\lVert\vec{AP}\times\vec{AB}\bigr\rVert}{\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert}

Los dos apartados comparten el vector

\vec{AB}

, así que conviene calcularlo una vez.

Desarrollo

El vector que une los puntos.

\vec{AB} = B - A = \bigl(1+1,\; 0+2,\; 1+1\bigr) = (2,\, 2,\, 2) \;\parallel\; (1,\, 1,\, 1)

a) Plano mediador.

Punto medio:

M = \frac{A+B}{2} = \left(\frac{-1+1}{2},\; \frac{-2+0}{2},\; \frac{-1+1}{2}\right) = (0,\, -1,\, 0)

Normal: la dirección de

\vec{AB}

, simplificada:

\vec{n} = (1,\, 1,\, 1)

Ecuación, imponiendo el paso por

M

1\,(x - 0) + 1\,(y + 1) + 1\,(z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y + z + 1 = 0

Comprobaciones.

$M$ pertenece: $\;0 - 1 + 0 + 1 = 0\;\checkmark$
$A$ y $B$ están a lados opuestos: en $A$ la expresión vale $-1-2-1+1 = -3$ y en $B$ , $1+0+1+1 = 3$ . Valores opuestos: es la firma de dos puntos simétricos $\checkmark$

b) Distancia de $P$ a la recta $AB$ .

\vec{AP} = P - A = \bigl(-1+1,\; 0+2,\; 1+1\bigr) = (0,\, 2,\, 2)

\vec{AP}\times\vec{AB} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(2) - (2)(2) = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(0)(2) - (2)(2)\Bigr] = 4

\vec{k}: \; (0)(2) - (2)(2) = -4

\vec{AP}\times\vec{AB} = (0,\, 4,\, -4), \qquad \bigl\lVert\cdot\bigr\rVert = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt2

\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt3

d(P, r) = \frac{4\sqrt2}{2\sqrt3} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt3} = \frac{2\sqrt6}{3} \approx 1{,}63 \ \text{unidades}

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Consejo

"El plano respecto del cual $A$ y $B$ son simétricos" es el plano mediador: punto medio más normal $\vec{AB}$ . Traducirlo así convierte el apartado a) en dos cálculos triviales.

En la fórmula de la distancia punto-recta, el denominador es el módulo del director ( $\vec{AB}$ ), no el de $\vec{AP}$ . Es el error más repetido de este tipo de ejercicio.

Puedes simplificar $\vec{AB} = (2,2,2)$ a $(1,1,1)$ : el resultado sale igual porque el factor se cancela entre numerador y denominador. Lo que no vale es usar uno arriba y otro abajo.