Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera los puntos

A(1, 2, 3)

B(-2, 4, -3)

C(-10, 1, 0)

.

a) [1,25 puntos] Halla el área del triángulo de vértices

A

B

C

.

b) [1,25 puntos] Halla el plano que equidista de

A

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AB}\times\vec{AC} = (-12, 57, 25), \qquad \text{Área} = \frac{\sqrt{4018}}{2} = \frac{7\sqrt{82}}{2} \approx 31{,}69 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv 6x - 4y + 12z + 15 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos apartados independientes, cada uno con su herramienta:

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial $\vec{AB}\times\vec{AC}$ .
El plano que equidista de dos puntos es el plano mediador del segmento que los une: pasa por el punto medio y tiene como normal el vector $\vec{AB}$ .

En b) conviene resistirse a la tentación de plantear

d(X,A) = d(X,B)

y desarrollar los cuadrados: funciona, pero es mucho más largo que usar directamente el punto medio y la normal.

Desarrollo

a) Vectores.

\vec{AB} = B - A = (-3,\, 2,\, -6), \qquad \vec{AC} = C - A = (-11,\, -1,\, -3)

Producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 2 & -6 \\ -11 & -1 & -3 \end{array}\right|

\vec{i}: \; (2)(-3) - (-6)(-1) = -6 - 6 = -12

\vec{j}: \; -\Bigl[(-3)(-3) - (-6)(-11)\Bigr] = -\bigl[9 - 66\bigr] = 57

\vec{k}: \; (-3)(-1) - (2)(-11) = 3 + 22 = 25

\vec{AB}\times\vec{AC} = (-12,\, 57,\, 25)

Módulo.

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \sqrt{144 + 3\,249 + 625} = \sqrt{4\,018}

Como

4\,018 = 49\cdot 82

\sqrt{4\,018} = 7\sqrt{82}

Área.

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \frac{7\sqrt{82}}{2} \approx 31{,}69 \ \text{unidades cuadradas}

(El producto vectorial no es nulo, así que los tres puntos no están alineados y el triángulo existe.)

b) Plano mediador de $AB$ .

Punto medio:

M = \frac{A + B}{2} = \left(\frac{1-2}{2},\; \frac{2+4}{2},\; \frac{3-3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2},\; 3,\; 0\right)

Vector normal:

\;\vec{n} = \vec{AB} = (-3, 2, -6)

.

Ecuación:

-3\left(x + \frac{1}{2}\right) + 2\,(y - 3) - 6\,(z - 0) = 0

-3x - \frac{3}{2} + 2y - 6 - 6z = 0 \;\Longrightarrow\; -3x + 2y - 6z - \frac{15}{2} = 0

Multiplicando por

-2

para quitar la fracción:

\pi \equiv 6x - 4y + 12z + 15 = 0

Comprobación. Sustituyendo los dos puntos:

A(1,2,3) \to 6 - 8 + 36 + 15 = 49, \qquad B(-2,4,-3) \to -12 - 16 - 36 + 15 = -49

Los valores son opuestos, luego

A

B

están a la misma distancia del plano y en lados contrarios: es el plano mediador

\checkmark

. (Y el punto medio

M

\;-3 - 12 + 0 + 15 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"El plano que equidista de dos puntos" es el plano mediador: punto medio y normal $\vec{AB}$ , en dos líneas. Plantear $d(X,A) = d(X,B)$ con raíces cuadradas, elevar al cuadrado y desarrollar da lo mismo, pero son diez líneas de álgebra en las que es fácil perder un signo.

Verifica el resultado sustituyendo $A$ y $B$ en la ecuación: los valores deben salir opuestos (aquí $49$ y $-49$ ). Si salieran iguales, el plano que has escrito es paralelo al segmento en lugar de mediador; si salieran distintos en valor absoluto, hay un error en el punto medio.