Opción A · Ejercicio 4. Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0). a) [1 punto] Halla la ecuación del plano \pi determinado por los puntos A, B y C. b) [0,5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) [1 punto] Calcula la distancia del punto D al plano \pi.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sean los puntos

A(0,0,1)

B(1,0,-1)

C(0,1,-2)

D(1,2,0)

.

a) [1 punto] Halla la ecuación del plano

\pi

determinado por los puntos

A

B

C

.

b) [0,5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

c) [1 punto] Calcula la distancia del punto

D

al plano

\pi

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (1,0,-2), \quad \vec{AC} = (0,1,-3), \quad \vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = (2,3,1)\;}

\boxed{\;\text{a) } \pi \equiv 2x+3y+z-1 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } \bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \vec{AD}\cdot\vec{n} = 7 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{no coplanarios}\;}

\boxed{\;\text{c) } d(D,\pi) = \frac{\lvert 7\rvert}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87\;}

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Estrategia

Los tres apartados se apoyan en el mismo vector normal:

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC}

a) Plano por tres puntos: normal $\vec{n}$ pasando por $A$ .
b) No coplanarios $\iff$ el producto mixto $\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \vec{AD}\cdot\vec{n}$ es no nulo. Equivalentemente, $D$ no cumple la ecuación de $\pi$ .
c) Fórmula de la distancia punto-plano. Y hay un atajo: ese producto mixto es el numerador de la distancia.

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (1,\, 0,\, -2) \qquad \vec{AC} = (0,\, 1,\, -3) \qquad \vec{AD} = (1,\, 2,\, -1)

El producto vectorial.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -3\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(-3)-(-2)(1) = 2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(1)(-3)-(-2)(0)\bigr] = 3 \qquad \vec{k}: (1)(1)-(0)(0) = 1

\vec{n} = (2,\, 3,\, 1)

a) El plano. Por

A(0,0,1)

2x+3y+z+D = 0 \;\Longrightarrow\; 0+0+1+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -1

\pi \equiv 2x+3y+z-1 = 0

Comprobaciones.

B(1,0,-1)

\;2+0-1-1 = 0\;\checkmark

;

\;C(0,1,-2)

\;0+3-2-1 = 0\;\checkmark

b) Los cuatro puntos no son coplanarios.

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \vec{AD}\cdot\vec{n} = (1)(2)+(2)(3)+(-1)(1) = 2+6-1 = 7 \neq 0

\textbf{No son coplanarios}

(Equivalentemente: $D(1,2,0)$ en la ecuación del plano da $\;2+6+0-1 = 7\neq0$ , luego $D\notin\pi$ .)

c) La distancia de $D$ a $\pi$ .

d(D,\pi) = \frac{\lvert 2(1)+3(2)+0-1\rvert}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87

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Consejo

El mismo número, $7$ , sirve para b) y c): es el producto mixto y el numerador de la distancia. Calcularlo una vez responde los dos apartados.

"No coplanarios" se demuestra con producto mixto distinto de cero. También vale comprobar que $D$ no cumple la ecuación de $\pi$ : es literalmente el mismo cálculo.

Racionaliza: $\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ . Simplificar hasta el final facilita comparar con la solución oficial.