Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Se considera la recta

r

definida por

m x = y = z+2, \qquad (m\neq0)

y la recta

s

definida por

\frac{x-4}{4} = y-1 = \frac{z}{2}

a) [1,5 puntos] Halla el valor de

m

para el que

r

s

son perpendiculares.

b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algún valor de

m

para el que

r

s

son paralelas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r\colon x = \tfrac{y}{m}, \ z = y-2 \;\Longrightarrow\; \vec u = \left(\tfrac1m,1,1\right)\sim(1,m,m)\;}

\boxed{\;\vec v = (4,1,2)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec u\cdot\vec v = 4+3m = 0 \;\Longrightarrow\; m = -\frac43\;}

\boxed{\;\text{b) } \tfrac14 = \tfrac{m}{1} = \tfrac{m}{2} \text{ es imposible} \Rightarrow \textbf{nunca son paralelas}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se decide con los directores:

perpendiculares $\Rightarrow$ $\vec u\cdot\vec v = 0$ (una ecuación lineal en $m$ ),
paralelas $\Rightarrow$ $\vec u$ y $\vec v$ proporcionales (un sistema que puede no tener solución).

Lo delicado es leer bien el director de

r

: la expresión

mx = y = z+2

hay que llevarla a la forma continua.

Desarrollo

El director de $r$ . De

\;mx = y = z+2\;

se despeja tomando

y

como parámetro:

x = \frac{y}{m} \qquad z = y-2

Con

y = t

r \equiv \left(\frac{t}{m},\; t,\; t-2\right) \;\Longrightarrow\; \vec u = \left(\frac1m,\, 1,\, 1\right) \;\sim\; (1,\, m,\, m)

(Multiplicando por $m\neq0$ ; equivalentemente, $\;\dfrac{x}{1/m} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{1}$ .)

El director de $s$ . De

\;\dfrac{x-4}{4} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{2}

\vec v = (4,\, 1,\, 2)

a) Perpendiculares.

\vec u\cdot\vec v = (1)(4)+(m)(1)+(m)(2) = 4+3m = 0

m = -\frac43

Comprobación: con

m = -\frac43

\;\vec u = \left(1,-\frac43,-\frac43\right)

\vec u\cdot\vec v = 4-\frac43-\frac83 = 4-4 = 0 \;\checkmark

b) ¿Pueden ser paralelas? Habría que tener

\vec u \parallel \vec v

\frac{1}{4} = \frac{m}{1} = \frac{m}{2}

De las dos primeras:

\;m = \dfrac14

.

De las dos últimas:

\;\dfrac{m}{1} = \dfrac{m}{2} \Longrightarrow 2m = m \Longrightarrow m = 0

.

Las dos condiciones son incompatibles (y además

m = 0

está excluido por el enunciado):

\textbf{No existe ningún } m \textbf{ para el que } r \textbf{ y } s \textbf{ sean paralelas}

(La razón de fondo: en $\vec u = (1,m,m)$ las componentes segunda y tercera son iguales, mientras que en $\vec v = (4,1,2)$ valen $1$ y $2$ . Ninguna proporción puede arreglar eso.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee con cuidado $mx = y = z+2$ : hay que normalizar a la forma continua. Tomando $y$ como parámetro sale $\vec u = \left(\frac1m,1,1\right)$ , que se puede multiplicar por $m$ .

"Perpendiculares" es producto escalar cero; "paralelas" es proporcionalidad de componentes. Son condiciones muy distintas y conviene escribirlas por separado.

En b), la respuesta es negativa y hay que razonarla: la segunda y la tercera componentes de $\vec u$ son iguales y las de $\vec v$ no, así que la proporción es imposible.