Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2012 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. De un paralelogramo

ABCD

conocemos tres vértices consecutivos:

A(2,-1,0)

B(-2,1,0)

C(0,1,2)

.

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.

b) [0,75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo.

c) [0,75 puntos] Calcula el vértice

D

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-4,2,0), \quad \vec{BC} = (2,0,2), \quad \vec{n} = \vec{AB}\times\vec{BC} = (4,8,-4)\;}

\boxed{\;\text{a) Centro } M(1,0,1); \ \text{recta} \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}\;}

\boxed{\;\text{b) Área} = \lVert(4,8,-4)\rVert = 4\sqrt6 \approx 9{,}80 \ \text{u}^{2}\;}

\boxed{\;\text{c) } D = A+\vec{BC} = (4,\, -1,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con tres vértices consecutivos

A

B

C

Los lados desde $B$ son $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ ; equivalentemente, se puede trabajar con $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ .
El centro es el punto medio de cualquiera de las dos diagonales; la que conocemos es $\overline{AC}$ .
El vector normal del plano es $\vec{AB}\times\vec{BC}$ , y su módulo es el área del paralelogramo.
El cuarto vértice cumple $\vec{AD} = \vec{BC}$ , luego $D = A+\vec{BC}$ .

Un solo producto vectorial resuelve a) y b).

Desarrollo

Los lados.

\vec{AB} = (-4,\, 2,\, 0) \qquad \vec{BC} = (2,\, 0,\, 2)

El producto vectorial.

\vec{n} = \vec{AB}\times\vec{BC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right|

\vec{i}: (2)(2)-(0)(0) = 4 \qquad \vec{j}: -\bigl[(-4)(2)-(0)(2)\bigr] = 8 \qquad \vec{k}: (-4)(0)-(2)(2) = -4

\vec{n} = (4,\, 8,\, -4) \;\sim\; (1,\, 2,\, -1)

a) La recta pedida. El centro es el punto medio de la diagonal

\overline{AC}

M = \left(\frac{2+0}{2},\; \frac{-1+1}{2},\; \frac{0+2}{2}\right) = (1,\, 0,\, 1)

La recta pasa por

M

y, al ser perpendicular al plano, tiene por director el normal

\vec{n}

\begin{cases} x = 1+\lambda \\ y = \phantom{1+}2\lambda \\ z = 1-\phantom{2}\lambda\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{-1}

b) El área. Para un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados consecutivos (sin el

\frac12

\text{Área} = \bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{BC}\bigr\rVert = \lVert(4,8,-4)\rVert = \sqrt{16+64+16} = \sqrt{96} = 4\sqrt6 \approx 9{,}80 \ \text{u}^{2}

c) El vértice $D$ . En el paralelogramo

ABCD

se cumple

\vec{AD} = \vec{BC}

D = A+\vec{BC} = (2+2,\; -1+0,\; 0+2) = (4,\, -1,\, 2)

Comprobaciones.

\vec{DC} = (0-4,\; 1+1,\; 2-2) = (-4,\, 2,\, 0) = \vec{AB} \;\checkmark

\text{Punto medio de } \overline{BD}: \ \left(\frac{-2+4}{2},\; \frac{1-1}{2},\; \frac{0+2}{2}\right) = (1,\,0,\,1) = M \;\checkmark

(Las dos diagonales se cortan en el centro, como debe ser.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El centro es el punto medio de una diagonal. Con $A$ , $B$ , $C$ consecutivos, la diagonal conocida es $\overline{AC}$ (no $\overline{AB}$ , que es un lado).

Área del paralelogramo $= \lVert\vec{AB}\times\vec{BC}\rVert$ , sin el factor $\frac12$ (ese es el del triángulo). Y para la recta puedes simplificar el normal a $(1,2,-1)$ .

Comprueba $D$ verificando que $\vec{DC} = \vec{AB}$ y que el punto medio de $\overline{BD}$ coincide con el centro. Son dos comprobaciones instantáneas.