Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2024 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque D). Considera los vectores

\vec{u} = (1, a, 2)

\vec{v} = (-2, 1, a)

.

a) [1 punto] Calcula

a

para que ambos vectores formen un ángulo de

\pi/3

radianes.

b) [1,5 puntos] Calcula

a

para que el vector

\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) - \vec{v}

sea ortogonal a

\vec{u}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad a = \frac{2}{3} \quad (\text{equivale a } \vec{u}\cdot\vec{v} = 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se aplica la fórmula del ángulo,

\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert}

, con

\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

. Hay un regalo escondido: los dos vectores tienen el mismo módulo,

\sqrt{a^{2}+5}

, así que el denominador es simplemente

a^{2}+5

y no aparecen raíces.

En b) conviene pensar antes de calcular. El producto vectorial

\vec{u}\times\vec{v}

es siempre perpendicular a

\vec{u}

, luego

\bigl[(\vec{u}\times\vec{v}) - \vec{v}\bigr]\cdot\vec{u} = \underbrace{(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}}_{=\,0} - \vec{v}\cdot\vec{u} = -\,\vec{u}\cdot\vec{v}

Así que la condición se reduce a

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0

: ni hace falta calcular el producto vectorial. Abajo lo hago de las dos formas, porque la larga sirve de comprobación.

Desarrollo

Cálculos comunes.

\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot(-2) + a\cdot 1 + 2\cdot a = 3a - 2

\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1 + a^{2} + 4} = \sqrt{a^{2}+5}, \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4 + 1 + a^{2}} = \sqrt{a^{2}+5}

(los dos módulos coinciden).

a) Ángulo de $\frac{\pi}{3}$ . Como

\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\,\lVert\vec{v}\rVert} = \frac{3a-2}{\sqrt{a^{2}+5}\cdot\sqrt{a^{2}+5}} = \frac{3a-2}{a^{2}+5} = \frac{1}{2}

2(3a-2) = a^{2}+5 \;\Longrightarrow\; 6a - 4 = a^{2} + 5 \;\Longrightarrow\; a^{2} - 6a + 9 = 0

(a-3)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3

(Raíz doble: la solución es única.)

Comprobación. Con

a=3

\vec{u} = (1,3,2)

\vec{v} = (-2,1,3)

\vec{u}\cdot\vec{v} = -2+3+6 = 7

\lVert\vec{u}\rVert^{2} = \lVert\vec{v}\rVert^{2} = 14

, luego

\cos\theta = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \theta = \frac{\pi}{3}

b) Ortogonalidad.

Vía rápida. Como

\vec{u}\times\vec{v}

es perpendicular a

\vec{u}

, su producto escalar con

\vec{u}

0

, y por tanto

\bigl[(\vec{u}\times\vec{v}) - \vec{v}\bigr]\cdot\vec{u} = 0 - \vec{u}\cdot\vec{v} = -(3a-2)

La condición de ortogonalidad es que esto valga

0

3a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{2}{3}

Vía larga (comprobación). Calculamos el producto vectorial:

\vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & a & 2 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right| = \bigl(a^{2}-2\bigr)\vec{i} - \bigl(a+4\bigr)\vec{j} + \bigl(1+2a\bigr)\vec{k}

\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) - \vec{v} = \bigl(a^{2}-2+2,\ -a-4-1,\ 1+2a-a\bigr) = \bigl(a^{2},\ -a-5,\ a+1\bigr)

\bigl[(\vec{u}\times\vec{v})-\vec{v}\bigr]\cdot\vec{u} = a^{2}\cdot 1 + (-a-5)\cdot a + (a+1)\cdot 2 = a^{2} - a^{2} - 5a + 2a + 2 = -3a + 2

-3a + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{2}{3}

Los dos caminos coinciden. Geométricamente, la condición equivale a que

\vec{u}

\vec{v}

sean perpendiculares.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), fíjate en que los dos módulos son iguales: el producto $\sqrt{a^{2}+5}\cdot\sqrt{a^{2}+5} = a^{2}+5$ elimina las raíces y deja una ecuación de segundo grado limpia. Si te lanzas a elevar al cuadrado sin darte cuenta, el cálculo se vuelve mucho más largo y aparecen soluciones falsas que hay que descartar.

En b), recuerda que $\vec{u}\times\vec{v}$ es perpendicular a los dos vectores: eso reduce la condición a $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ en una línea. Los criterios dan $0{,}75$ puntos por el planteamiento, así que razonarlo así vale igual que calcularlo todo, y en la mitad de tiempo.