Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera las rectas

r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + n\,z = -2 \\ \phantom{x + {}} y - \phantom{n}z = -3\end{cases}

a) [1,5 puntos] Halla los valores de

m

n

para los que

r

s

se cortan perpendicularmente.

b) [1 punto] Para

m = 3

n = 1

, calcula la ecuación general del plano que contiene a

r

y a

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (2,m,1), \quad \vec{v} = (-n,1,1), \quad R(1,-1,0), \quad S(-2,-3,0)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \begin{cases} \vec{u}\cdot\vec{v} = m - 2n + 1 = 0 \\ \bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = -3m + 2n + 7 = 0\end{cases} \;\Longrightarrow\; m = 4,\; n = \tfrac52\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (2,-3,5) \;\Longrightarrow\; 2x - 3y + 5z - 5 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

"Se cortan perpendicularmente" son dos condiciones independientes, y cada una da una ecuación:

Perpendiculares: $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .
Se cortan (son coplanarias): el producto mixto $\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = 0$ .

Justo dos ecuaciones para las dos incógnitas

m

n

: sale un sistema lineal.

En b) los valores dados hacen que las rectas se corten (aunque no perpendicularmente), y entonces el plano que las contiene tiene por normal

\vec{u}\times\vec{v}

Desarrollo

Elementos de las rectas.

r: \quad R(1,\, -1,\, 0), \qquad \vec{u} = (2,\, m,\, 1)

Para

s

, los normales son

\vec{n}_{1} = (1,0,n)

\vec{n}_{2} = (0,1,-1)

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & \phantom{-}n \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right| = (-n,\; 1,\; 1)

Un punto de

s

: haciendo

z = 0

resulta

x = -2

y = -3

, luego

S(-2,\, -3,\, 0) \in s

a) Condición 1: perpendicularidad.

\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\,(-n) + m\cdot 1 + 1\cdot 1 = m - 2n + 1 = 0

Condición 2: que se corten.

\vec{RS} = S - R = (-3,\, -2,\, 0)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}2 & \phantom{-}m & 1 \\ -n & \phantom{-}1 & 1 \\ -3 & -2 & 0\end{array}\right|

Desarrollando por la tercera columna:

= 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -n & \phantom{-}1 \\ -3 & -2\end{array}\right| - 1\cdot\left|\begin{array}{cc} \phantom{-}2 & \phantom{-}m \\ -3 & -2\end{array}\right| + 0

= \bigl(2n + 3\bigr) - \bigl(-4 + 3m\bigr) = 2n + 3 + 4 - 3m = -3m + 2n + 7

-3m + 2n + 7 = 0

Sistema.

\begin{cases} \phantom{-}m - 2n + 1 = 0 \\ -3m + 2n + 7 = 0\end{cases}

Sumando las dos ecuaciones:

-2m + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; m = 4

4 - 2n + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; n = \frac{5}{2}

m = 4, \qquad n = \frac{5}{2}

b) Caso $m = 3$ , $n = 1$ .

\vec{u} = (2,\, 3,\, 1), \qquad \vec{v} = (-1,\, 1,\, 1)

¿Se cortan? El producto mixto vale

-3\cdot 3 + 2\cdot 1 + 7 = 0

: sí, son coplanarias. Y no son paralelas (los directores no son proporcionales), así que se cortan en un punto y existe un único plano que las contiene.

(Nótese que $\vec{u}\cdot\vec{v} = -2 + 3 + 1 = 2 \neq 0$ : se cortan, pero no perpendicularmente.)

Normal del plano.

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (3)(1) - (1)(1) = 2 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(1) - (1)(-1)\bigr] = -3 \qquad \vec{k}: \; (2)(1) - (3)(-1) = 5

\vec{n} = (2,\, -3,\, 5)

Ecuación, imponiendo el paso por

R(1,-1,0)

2\,(x-1) - 3\,(y+1) + 5\,z = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - 3y + 5z - 5 = 0

Comprobación. El punto

S(-2,-3,0)

de la otra recta:

\;-4 + 9 + 0 - 5 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Se cortan perpendicularmente" no es una condición, sino dos: que sean perpendiculares (producto escalar nulo) y que efectivamente se corten (producto mixto nulo). Con una sola no tendrías ecuaciones suficientes para las dos incógnitas.

En b) hay que comprobar que se cortan antes de hablar de "el plano que las contiene": si se cruzaran, ese plano no existiría. Aquí el mixto se anula justo con $m=3$ , $n=1$ , y el enunciado está diseñado así.

Verifica el plano con un punto de cada recta: pasa por $R$ por construcción, y comprobar que también pasa por $S$ confirma que contiene a las dos.