Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Los puntos

A(-2,3,1)

B(2,-1,3)

C(0,1,-2)

son vértices consecutivos del paralelogramo

ABCD

.

a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice

D

.

b) [1 punto] Encuentra la ecuación de la recta que pasa por

B

y es paralela a la diagonal $AC$ .

c) [0,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

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Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = \vec{DC} \;\Longrightarrow\; D = C-B+A = (-4,\,5,\,-4)\;}

\boxed{\;\vec{AD} = (-2,2,-5) = \vec{BC} \;\checkmark\;}

\boxed{\;\text{b) } \vec{AC} = (2,-2,-3): \ (x,y,z) = (2,-1,3)+t\,(2,-2,-3)\;}

\boxed{\;\text{c) } \vec n = \vec{AB}\times\vec{AD} = (16,16,0)\sim(1,1,0) \Rightarrow \pi\colon x+y-1 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un paralelogramo

ABCD

(vértices en ese orden), los lados opuestos son paralelos e iguales:

\vec{AB} = \vec{DC} \;\Longrightarrow\; B-A = C-D \;\Longrightarrow\; D = C-B+A

(Equivalentemente, $\vec{AD} = \vec{BC}$ , que sirve de comprobación.)

b) La diagonal $AC$ da el director $\vec{AC}$ , y la recta pasa por $B$ .
c) El plano contiene $A$ y las direcciones $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ : su normal es el producto vectorial.

Desarrollo

a) El vértice $D$ .

D = C-B+A = (0-2-2,\; 1+1+3,\; -2-3+1) = (-4,\; 5,\; -4)

Comprobación (

\vec{AD}

debe coincidir con

\vec{BC}

\vec{AD} = D-A = (-2,\; 2,\; -5) \qquad \vec{BC} = C-B = (-2,\; 2,\; -5) \;\checkmark

(Y $\vec{AB} = (4,-4,2) = \vec{DC} = C-D = (4,-4,2)$ $\checkmark$ )

b) La recta por $B$ paralela a la diagonal $AC$ .

\vec{AC} = C-A = (0+2,\; 1-3,\; -2-1) = (2,\; -2,\; -3)

s \equiv (x,y,z) = (2,\,-1,\,3)+t\,(2,\,-2,\,-3)

s \equiv \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{-3}

c) El plano del paralelogramo. Direcciones

\vec{AB} = (4,-4,2)

\vec{AD} = (-2,2,-5)

\vec n = \vec{AB}\times\vec{AD} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 4 & -4 & 2 \\ -2 & 2 & -5\end{array}\right|

\vec i: (-4)(-5)-(2)(2) = 16 \qquad \vec j: -\bigl[(4)(-5)-(2)(-2)\bigr] = 16 \qquad \vec k: (4)(2)-(-4)(-2) = 0

\vec n = (16,\, 16,\, 0) \;\sim\; (1,\, 1,\, 0)

Con $A(-2,3,1)$ :

1\,(x+2)+1\,(y-3)+0 = 0 \;\Longrightarrow\; x+y-1 = 0

Comprobaciones (los cuatro vértices deben cumplirlo):

A(-2,3,1): -2+3-1 = 0 \;\checkmark \qquad B(2,-1,3): 2-1-1 = 0 \;\checkmark

C(0,1,-2): 0+1-1 = 0 \;\checkmark \qquad D(-4,5,-4): -4+5-1 = 0 \;\checkmark

(El plano no depende de $z$ : es vertical, paralelo al eje $Z$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Vértices consecutivos" fija el orden: en $ABCD$ los lados son $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ , y la relación correcta es $\vec{AB} = \vec{DC}$ , es decir, $D = A+C-B$ .

Comprueba $D$ con la otra igualdad ( $\vec{AD} = \vec{BC}$ ): si las dos se cumplen, el paralelogramo está bien construido.

Un plano cuya ecuación no contiene $z$ ( $x+y-1 = 0$ ) es paralelo al eje $Z$ . No es un error: significa que el paralelogramo está en un plano "vertical".