Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos

A(0,2,-2)

B(3,2,1)

C(2,3,2)

con los planos cartesianos.

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Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x + 2y - z = 6, \qquad \text{cortes } (6,0,0),\; (0,3,0),\; (0,0,-6)\;}

\boxed{\;V = \frac{1}{6}\,\bigl|6\cdot 3\cdot(-6)\bigr| = 18 \ \text{u}^{3}\;}

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Estrategia

El tetraedro que se describe tiene un vértice en el origen y los otros tres en los cortes del plano con los ejes coordenados. Así que el trabajo es:

Hallar la ecuación del plano por $A$ , $B$ y $C$ .
Calcular sus cortes con los tres ejes.
Aplicar la fórmula del volumen del tetraedro como un sexto del producto mixto.

Con vértice en el origen, el producto mixto se simplifica muchísimo: los tres vectores son las coordenadas de los puntos de corte, y como cada uno tiene dos ceros, el determinante es el producto de los tres cortes.

Desarrollo

Ecuación del plano.

\vec{AB} = (3, 0, 3), \qquad \vec{AC} = (2, 1, 4)

\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}\right| = \bigl(0\cdot 4 - 3\cdot 1\bigr)\vec{i} - \bigl(3\cdot 4 - 3\cdot 2\bigr)\vec{j} + \bigl(3\cdot 1 - 0\cdot 2\bigr)\vec{k} = (-3, -6, 3)

Dividiendo entre

-3

\;\vec{n} = (1, 2, -1)

. Imponiendo que pase por

A(0,2,-2)

1(x - 0) + 2(y - 2) - 1(z + 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x + 2y - z - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x + 2y - z = 6

(Comprobación: $B \to 3 + 4 - 1 = 6$ y $C \to 2 + 6 - 2 = 6$ . Correcto.)

Cortes con los ejes.

Eje $OX$ ( $y = z = 0$ ): $x = 6 \Longrightarrow P(6, 0, 0)$
Eje $OY$ ( $x = z = 0$ ): $2y = 6 \Longrightarrow Q(0, 3, 0)$
Eje $OZ$ ( $x = y = 0$ ): $-z = 6 \Longrightarrow R(0, 0, -6)$

Equivalentemente, en forma segmentaria:

\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{-6} = 1

.

Volumen del tetraedro $OPQR$ .

V = \frac{1}{6}\Bigl|\bigl[\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{OR}\bigr]\Bigr| = \frac{1}{6}\left|\;\left|\begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \end{array}\right|\;\right|

El determinante es diagonal, así que vale el producto de la diagonal:

V = \frac{1}{6}\bigl|6 \cdot 3 \cdot (-6)\bigr| = \frac{108}{6} = 18 \ \text{unidades cúbicas}

(Es la fórmula general: si el plano corta a los ejes en $a$ , $b$ y $c$ , el tetraedro que forma con los planos cartesianos tiene volumen $\frac{1}{6}|abc|$ .)

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Consejo

"Los planos cartesianos" son $OXY$ , $OXZ$ y $OYZ$ , es decir, $z=0$ , $y=0$ y $x=0$ . El tetraedro que limitan con $\pi$ tiene el origen como cuarto vértice: dibújalo mentalmente antes de calcular, porque es lo que justifica que el producto mixto se haga con $\vec{OP}$ , $\vec{OQ}$ y $\vec{OR}$ .

El corte con $OZ$ sale negativo, $z = -6$ , y está bien: el tetraedro cae por debajo del plano $OXY$ . No "corrijas" el signo. Como el volumen lleva valor absoluto, el resultado es positivo de todos modos.