Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Determina el punto simétrico del punto

A(-3,1,6)

respecto de la recta

r

de ecuaciones

x-1 = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (1,2,2), \quad P_{0}(1,-3,-1)\in r\;}

\boxed{\;\text{Plano perp. por } A: \ (x+3)+2(y-1)+2(z-6) = 0 \Rightarrow x+2y+2z-11 = 0\;}

\boxed{\;Q(t) = (1+t,-3+2t,-1+2t) \text{ en el plano}: \ 9t-18 = 0 \Rightarrow t = 2, \ M(3,1,3)\;}

\boxed{\;A' = 2M-A = (9,\, 1,\, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Receta del simétrico respecto de una recta, en tres pasos:

Plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$ : su normal es el director $\vec{u}$ de la recta.
Pie $M$ de la perpendicular: corte de ese plano con $r$ .
Simétrico: $M$ es el punto medio de $A$ y $A'$ , luego

A' = 2M-A

(No lo confundas con el simétrico respecto de un plano, donde la recta auxiliar tiene por director el normal del plano.)

Desarrollo

Datos de la recta. De

\;\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z+1}{2}

\vec{u} = (1,\, 2,\, 2) \qquad P_{0}(1,\,-3,\,-1)

1) El plano perpendicular a $r$ por $A(-3,1,6)$ . Su normal es

\vec{u}

1\,(x+3)+2\,(y-1)+2\,(z-6) = 0

x+3+2y-2+2z-12 = 0 \;\Longrightarrow\; x+2y+2z-11 = 0

Comprobación con

A

\;-3+2+12-11 = 0

\;\checkmark

2) El pie de la perpendicular. Punto genérico de

r

Q(t) = (1+t,\; -3+2t,\; -1+2t)

Sustituyendo en el plano:

(1+t)+2\,(-3+2t)+2\,(-1+2t)-11 = 1+t-6+4t-2+4t-11 = 9t-18 = 0

t = 2 \;\Longrightarrow\; M = (3,\; 1,\; 3)

Comprobación (

M

está en el plano):

\;3+2+6-11 = 0

\;\checkmark

3) El simétrico.

A' = 2M-A = (6-(-3),\; 2-1,\; 6-6) = (9,\; 1,\; 0)

Comprobaciones.

\vec{AM} = M-A = (6,\, 0,\, -3) \;\Longrightarrow\; \vec{AM}\cdot\vec{u} = 6+0-6 = 0 \;\checkmark

Punto medio de $A(-3,1,6)$ y $A'(9,1,0)$ :

\left(\frac{-3+9}{2},\; \frac{1+1}{2},\; \frac{6+0}{2}\right) = (3,\,1,\,3) = M \;\checkmark

Y las distancias:

\;\bigl|\vec{AM}\bigr| = \sqrt{36+0+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt5

, igual que

\bigl|\vec{MA'}\bigr|

(por construcción).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los tres pasos siempre son los mismos: plano perpendicular por el punto → pie → duplicar. Escríbelos como esquema y luego rellénalos: así no te saltas ninguno bajo presión.

Ojo al leer $\;x-1 = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{2}$ : el primer miembro es $\frac{x-1}{1}$ , así que $u_{1} = 1$ . Es fácil dejarse un $1$ implícito y equivocarse de director.

Cierra con dos comprobaciones: $\vec{AM}\cdot\vec{u} = 0$ y que $M$ es el punto medio de $A$ y $A'$ . Si las dos salen, el resultado es correcto seguro.