Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2017 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera las rectas dadas por

r \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x - z + 1 = 0\end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 - t \\ y = \phantom{1 - {}}t \\ z = 2\end{cases}

a) [1,75 puntos] Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

.

b) [0,75 puntos] Halla la distancia entre las rectas

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: R(-1,0,0),\, \vec{u} = (1,1,1); \qquad s: S(1,0,2),\, \vec{v} = (-1,1,0)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = (-1,-1,2); \qquad p \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad d(r,s) = \frac{\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}]\bigr|}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{3} \approx 0{,}82\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La perpendicular común se construye como intersección de dos planos:

Su dirección es $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$ (perpendicular a las dos rectas).
El plano que contiene a $r$ y a $\vec{w}$ , y el que contiene a $s$ y a $\vec{w}$ : su intersección es la recta buscada.

Para b), la distancia entre rectas que se cruzan es

d(r,s) = \frac{\bigl|\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr]\bigr|}{\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert}

y los dos ingredientes ya se han calculado en a).

Desarrollo

Elementos de $r$ . Los normales son

\vec{n}_{1} = (1,-1,0)

\vec{n}_{2} = (1,0,-1)

\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & \phantom{-}0 \\ 1 & \phantom{-}0 & -1\end{array}\right| = (1,\, 1,\, 1)

Un punto: con

x = -1

queda

y = 0

z = 0

R(-1,\, 0,\, 0) \in r

Elementos de $s$ .

S(1,\, 0,\, 2), \qquad \vec{v} = (-1,\, 1,\, 0)

Dirección de la perpendicular común.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(0) - (1)(1) = -1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(1)(0) - (1)(-1)\bigr] = -1 \qquad \vec{k}: \; (1)(1) - (1)(-1) = 2

\vec{w} = (-1,\, -1,\, 2)

(No nulo, así que las rectas no son paralelas.)

a) Los dos planos.

Plano que contiene a $r$ y a $\vec{w}$ : su normal es

\vec{u}\times\vec{w} = (1,1,1)\times(-1,-1,2) = (3,\, -3,\, 0)

Pasando por

R(-1,0,0)

3\,(x+1) - 3y = 0 \;\Longrightarrow\; x - y + 1 = 0

Plano que contiene a $s$ y a $\vec{w}$ : su normal es

\vec{v}\times\vec{w} = (-1,1,0)\times(-1,-1,2) = (2,\, 2,\, 2) \;\parallel\; (1,1,1)

Pasando por

S(1,0,2)

(x-1) + y + (z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y + z - 3 = 0

La perpendicular común.

p \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0\end{cases}

(Curiosamente, el primer plano es una de las dos ecuaciones con que venía dada $r$ .)

Comprobación. Restando y despejando: de la primera,

y = x+1

; sustituyendo en la segunda,

2x + 1 + z - 3 = 0 \Rightarrow z = 2 - 2x

. En paramétricas,

p \equiv \bigl(\mu,\; 1+\mu,\; 2-2\mu\bigr)

con director

(1,1,-2) \parallel \vec{w}\;\checkmark

b) Distancia.

\vec{RS} = S - R = (2,\, 0,\, 2)

\bigl[\vec{u},\vec{v},\vec{RS}\bigr] = \left|\begin{array}{ccc} \phantom{-}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \phantom{-}2 & 0 & 2\end{array}\right| = 1\,(2 - 0) - 1\,(-2 - 0) + 1\,(0 - 2) = 2 + 2 - 2 = 2

\bigl\lVert\vec{u}\times\vec{v}\bigr\rVert = \lVert(-1,-1,2)\rVert = \sqrt{1+1+4} = \sqrt6

d(r,s) = \frac{|2|}{\sqrt6} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{2\sqrt6}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}82 \ \text{unidades}

(El mixto no es nulo, así que efectivamente se cruzan y la distancia tiene sentido.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La perpendicular común no es simplemente "una recta con dirección $\vec{u}\times\vec{v}$ ": tiene que cortar a las dos. Por eso se construye como intersección de los dos planos, cada uno conteniendo una recta y esa dirección.

Los dos apartados comparten cálculos: $\vec{u}\times\vec{v}$ sirve como dirección en a) y como denominador en b), y el mixto que aparece en b) confirma además que las rectas se cruzan. No repitas trabajo.

Comprueba al final que el director de $p$ es proporcional a $\vec{w}$ : aquí sale $(1,1,-2)$ frente a $(-1,-1,2)$ , que son opuestos. Es la verificación más rápida del apartado a).