Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Se sabe que los puntos

A(-1, 2, 6)

B(1, 4, -2)

son simétricos respecto de un plano

\pi

.

a) [0,75 puntos] Calcula la distancia de

A

\pi

.

b) [1,75 puntos] Determina la ecuación general del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (2,2,-8) \parallel (1,1,-4), \qquad M = \left(0,\, 3,\, 2\right)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad d(A,\pi) = \frac{\lVert\vec{AB}\rVert}{2} = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4{,}24\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi \equiv x + y - 4z + 5 = 0 \quad (\text{plano mediador de } AB)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Este ejercicio va al revés de lo habitual: en vez de dar el plano y pedir el simétrico, da los dos puntos simétricos y pide el plano.

Lo que hay que recordar es qué caracteriza a un plano de simetría:

\pi

es el plano mediador del segmento

AB

, es decir,

pasa por el punto medio $M$ de $A$ y $B$ ,
y es perpendicular al segmento, o sea, su vector normal es $\vec{AB}$ .

Con eso, el apartado a) es todavía más directo: si

M

está en el plano y es el punto medio, la distancia de

A

\pi

es la mitad de la distancia entre

A

B

Desarrollo

El vector que une los dos puntos.

\vec{AB} = B - A = \bigl(1-(-1),\; 4-2,\; -2-6\bigr) = (2,\, 2,\, -8) \;\parallel\; (1,\, 1,\, -4)

a) Distancia de $A$ al plano. Como

\pi

corta al segmento

AB

por su punto medio:

d(A, \pi) = \frac{\bigl\lVert\vec{AB}\bigr\rVert}{2} = \frac{\sqrt{4 + 4 + 64}}{2} = \frac{\sqrt{72}}{2} = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \ \text{unidades}

b) El plano mediador.

Punto medio:

M = \frac{A + B}{2} = \left(\frac{-1+1}{2},\; \frac{2+4}{2},\; \frac{6-2}{2}\right) = (0,\, 3,\, 2)

Vector normal: el de la dirección

\vec{AB}

, simplificado:

\vec{n} = (1,\, 1,\, -4)

Ecuación, imponiendo el paso por

M

1\,(x - 0) + 1\,(y - 3) - 4\,(z - 2) = 0

x + y - 3 - 4z + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - 4z + 5 = 0

Comprobaciones.

$M$ está en $\pi$ : $\;0 + 3 - 8 + 5 = 0\;\checkmark$
Distancia de $A(-1,2,6)$ :

d(A,\pi) = \frac{|-1 + 2 - 24 + 5|}{\sqrt{1+1+16}} = \frac{18}{\sqrt{18}} = \sqrt{18} = 3\sqrt2 \quad \checkmark

coincide con el apartado a).

$A$ y $B$ están a lados opuestos: en $A$ la expresión vale $-18$ y en $B$ vale $1 + 4 + 8 + 5 = 18$ . Signos opuestos e igual valor absoluto, exactamente lo que caracteriza a dos puntos simétricos $\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce "simétricos respecto de un plano" a las dos propiedades del plano mediador: pasa por el punto medio y tiene por normal el vector $\vec{AB}$ . Con eso, el ejercicio entero son dos cálculos elementales.

En a) no hace falta conocer el plano: como corta al segmento por la mitad, la distancia es $\tfrac12\lVert\vec{AB}\rVert$ . Resolver primero b) y luego aplicar la fórmula punto-plano también vale, pero es dar un rodeo.

Cierra con la comprobación de los signos opuestos: al sustituir $A$ y $B$ en la ecuación deben salir valores opuestos ( $-18$ y $+18$ ). Es la firma inconfundible de dos puntos simétricos respecto del plano.