Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

\pi

el plano determinado por los puntos

A(1,0,0)

B(0,1,0)

C(0,0,\lambda)

, siendo

\lambda

un número real, y sea

r

la recta dada por

r \equiv \begin{cases} \phantom{-x + 2}y - z = 3 \\ -x + 2y \phantom{{}- z} = 3\end{cases}

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por

A

y contiene a

r

.

b) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de

r

\pi

según los valores de

\lambda

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (2,1,1), \quad R(-3,0,-3); \qquad \vec{n}_{\pi} = \vec{AB}\times\vec{AC} = (\lambda,\lambda,1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 3x - 2y - 4z - 3 = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n}_{\pi}\cdot\vec{u} = 3\lambda + 1: \quad \lambda \neq -\tfrac13 \Rightarrow \text{se cortan}; \quad \lambda = -\tfrac13 \Rightarrow \text{paralelos (no contenida)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Plano que contiene a la recta $r$ y pasa por $A$ : su normal es $\vec{u}\times\vec{RA}$ , con $\vec{u}$ el director de $r$ y $R$ un punto de ella. (Nada que ver con $\lambda$ : este apartado no lo usa.)
b) El plano $\pi$ depende de $\lambda$ ; su normal se obtiene con $\vec{AB}\times\vec{AC}$ . La posición relativa se decide según se anule o no $\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{u}$ :

- si es

\neq 0

, la recta corta al plano;
- si es

0

, hay que distinguir entre paralela y contenida con un punto.

Desarrollo

Elementos de la recta. Los normales de sus dos planos son

\vec{n}_{1} = (0,1,-1)

\vec{n}_{2} = (-1,2,0)

\vec{u} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \phantom{-}0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & \phantom{-}0\end{array}\right| = (2,\, 1,\, 1)

Un punto: con

y = 0

queda

z = -3

x = -3

R(-3,\, 0,\, -3) \in r

a) Plano por $A(1,0,0)$ que contiene a $r$ .

\vec{RA} = A - R = (4,\, 0,\, 3)

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{RA} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 3\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(3) - (1)(0) = 3 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(2)(3) - (1)(4)\bigr] = -2 \qquad \vec{k}: \; (2)(0) - (1)(4) = -4

\vec{n} = (3,\, -2,\, -4)

Ecuación, por

A(1,0,0)

3\,(x-1) - 2y - 4z = 0 \;\Longrightarrow\; 3x - 2y - 4z - 3 = 0

Comprobación: el punto genérico de

r

(-3+2t,\, t,\, -3+t)

, y

3(-3+2t) - 2t - 4(-3+t) - 3 = -9 + 6t - 2t + 12 - 4t - 3 = 0 \quad \checkmark

b) El plano $\pi$ y su normal.

\vec{AB} = (-1,\, 1,\, 0), \qquad \vec{AC} = (-1,\, 0,\, \lambda)

\vec{n}_{\pi} = \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda\end{array}\right| = (\lambda,\; \lambda,\; 1)

Su ecuación, por

A(1,0,0)

\pi \equiv \lambda\,(x-1) + \lambda y + z = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda x + \lambda y + z - \lambda = 0

(Para $\lambda = 0$ los tres puntos son $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ y el origen, y la ecuación queda $z = 0$ : sigue siendo válida.)

Producto escalar con el director de $r$ .

\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{u} = 2\lambda + \lambda + 1 = 3\lambda + 1

Caso $\lambda \neq -\tfrac13$ :

\;\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{u} \neq 0 \Longrightarrow

la recta corta al plano en un punto.

Caso $\lambda = -\tfrac13$ : el producto escalar se anula. Comprobamos si

R(-3,0,-3)

pertenece a

\pi

\lambda(-3) + \lambda\cdot 0 + (-3) - \lambda = -4\lambda - 3 = \frac43 - 3 = -\frac53 \neq 0

R\notin\pi

, luego la recta es paralela al plano y no está contenida en él.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El apartado a) no depende de $\lambda$ : el plano que pide es el que contiene a $r$ y pasa por $A$ , sin relación con $B$ ni $C$ . Leerlo bien evita arrastrar el parámetro sin necesidad.

En b), el producto escalar nulo no basta para decir "paralelos": hay que descartar que la recta esté contenida en el plano, sustituyendo un punto suyo. Aquí no lo está, así que el paralelismo es estricto.

Comprueba que la fórmula del plano $\pi$ funciona también para $\lambda = 0$ (queda $z=0$ ). Los enunciados con parámetro suelen tener un valor "degenerado" que conviene revisar antes de darlo por bueno.