Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Determina el punto simétrico de

A(2, -4, -3)

con respecto al plano que contiene a los puntos

B(1,1,2)

C\left(0, \frac{1}{3}, 1\right)

D(-3, 0, 3)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x - 3y + z = 0, \qquad A'(0, 2, -5)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos etapas bien separadas:

Hallar el plano que pasa por $B$ , $C$ y $D$ . Aparecen fracciones, pero se van enseguida al multiplicar el vector normal por un escalar adecuado.
Calcular el simétrico. El método clásico es trazar la recta perpendicular al plano por $A$ , hallar el pie $P$ y usar que $P$ es el punto medio de $A$ y $A'$ . Aquí lo haremos con la versión abreviada de esa misma idea, que es más rápida y menos propensa a errores:

A' = A - 2\,\frac{\vec{OA}\cdot\vec{n} + d}{\lVert\vec{n}\rVert^{2}}\,\vec{n}

donde

ax + by + cz + d = 0

es el plano y

\vec{n} = (a, b, c)

su vector normal (en minúsculas, para no confundir los coeficientes con los puntos

A

B

C

del enunciado). El numerador es simplemente el resultado de sustituir

A

en la ecuación del plano. En este problema el cociente sale exactamente $1$ , lo que deja el cálculo en una resta.

Desarrollo

Vectores del plano.

\vec{BC} = C - B = \left(-1,\; -\frac{2}{3},\; -1\right), \qquad \vec{BD} = D - B = (-4,\; -1,\; 1)

Vector normal.

\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -\frac{2}{3} & -1 \\ -4 & -1 & 1 \end{array}\right|

\vec{i}: \; \left(-\frac{2}{3}\right)(1) - (-1)(-1) = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}

\vec{j}: \; -\Bigl[(-1)(1) - (-1)(-4)\Bigr] = -\bigl[-1 - 4\bigr] = 5

\vec{k}: \; (-1)(-1) - \left(-\frac{2}{3}\right)(-4) = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}

\vec{n} = \left(-\frac{5}{3},\; 5,\; -\frac{5}{3}\right)

Multiplicando por

-\dfrac{3}{5}

se obtiene el normal más simple:

\vec{n} = (1, -3, 1)

Ecuación del plano. Imponiendo que pase por

B(1,1,2)

1(x - 1) - 3(y - 1) + 1(z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x - 3y + z + (-1 + 3 - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - 3y + z = 0

(Comprobación: $C \to 0 - 1 + 1 = 0$ y $D \to -3 - 0 + 3 = 0$ . Correcto. El plano pasa por el origen.)

Simétrico de $A$ .

\vec{OA}\cdot\vec{n} + d = 2 - 3\cdot(-4) + (-3) + 0 = 2 + 12 - 3 = 11, \qquad \lVert\vec{n}\rVert^{2} = 1 + 9 + 1 = 11

A' = A - 2\cdot\frac{11}{11}\,\vec{n} = (2, -4, -3) - 2\,(1, -3, 1) = (2 - 2,\; -4 + 6,\; -3 - 2) = (0, 2, -5)

Comprobación por el punto medio. El punto medio de

A

A'

debe pertenecer al plano:

M = \frac{A + A'}{2} = \left(1,\; -1,\; -4\right), \qquad 1 - 3\cdot(-1) + (-4) = 1 + 3 - 4 = 0 \quad \checkmark

\vec{AA'} = (-2, 6, -4) = -2\,(1,-3,1)

es paralelo a $\vec{n}$ , como debe ocurrir con un simétrico respecto de un plano.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No te asustes por la fracción de $C\left(0,\frac{1}{3},1\right)$ : aparece en el vector normal y desaparece en cuanto lo multiplicas por un escalar. Simplifica $\vec{n}$ a coordenadas enteras antes de escribir la ecuación del plano; arrastrar tercios hasta el final multiplica las probabilidades de error.

Y verifica siempre el simétrico con las dos condiciones que lo definen: el punto medio pertenece al plano, y el vector $\vec{AA'}$ es paralelo a la normal. Son dos comprobaciones de diez segundos que detectan cualquier error de signo.