Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano \pi definido por \;2x-y+n z = 0\; y la recta r dada por \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2} \qquad \text{con } m\neq0 a) [1,25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano \pi. b) [1,25 puntos] Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano \pi.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

definido por

\;2x-y+n z = 0\;

y la recta

r

dada por

\frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2} \qquad \text{con } m\neq0

a) [1,25 puntos] Calcula

m

n

para que la recta

r

sea perpendicular al plano

\pi

.

b) [1,25 puntos] Calcula

m

n

para que la recta

r

esté contenida en el plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = (m,4,2), \quad P(1,0,1)\in r; \qquad \vec n = (2,-1,n)\;}

\boxed{\;\text{a) Perpendicular: } \frac{m}{2} = \frac{4}{-1} = \frac{2}{n} = -4 \;\Longrightarrow\; m = -8, \ n = -\tfrac12\;}

\boxed{\;\text{b) } P\in\pi: \ 2+n = 0 \Rightarrow n = -2\;}

\boxed{\;\vec u\cdot\vec n = 2m-4+2n = 0 \Rightarrow m = 4; \quad m = 4, \ n = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados son las dos situaciones opuestas entre recta y plano, y cada una se traduce en una condición sobre el director

\vec u = (m,4,2)

y el normal

\vec n = (2,-1,n)

perpendicular $\Rightarrow$ $\vec u$ paralelo a $\vec n$ : componentes proporcionales,
contenida $\Rightarrow$ $\vec u\perp\vec n$ (producto escalar nulo) y además un punto de $r$ en $\pi$ .

(Solo con $\vec u\cdot\vec n = 0$ la recta sería paralela al plano; el punto es lo que la mete dentro.)

Desarrollo

Datos.

\vec u = (m,\; 4,\; 2) \qquad P(1,\,0,\,1)\in r \qquad \vec n = (2,\; -1,\; n)

a) Recta perpendicular al plano. El director debe ser proporcional al normal:

\frac{m}{2} = \frac{4}{-1} = \frac{2}{n}

De la fracción central:

\;\dfrac{4}{-1} = -4

, así que

\frac{m}{2} = -4 \;\Longrightarrow\; m = -8

\frac{2}{n} = -4 \;\Longrightarrow\; n = -\frac12

Comprobación:

\;\vec u = (-8,4,2)

\vec n = \left(2,-1,-\frac12\right)

, con

\vec u = -4\,\vec n

\;\checkmark

m = -8, \qquad n = -\frac12

b) Recta contenida en el plano. Dos condiciones.

(i) El punto $P(1,0,1)$ debe estar en $\pi$ :

2\cdot1-0+n\cdot1 = 0 \;\Longrightarrow\; 2+n = 0 \;\Longrightarrow\; n = -2

(ii) El director debe ser perpendicular al normal:

\vec u\cdot\vec n = 2m-4+2n = 0

Con

n = -2

2m-4-4 = 0 \;\Longrightarrow\; 2m = 8 \;\Longrightarrow\; m = 4

m = 4, \qquad n = -2

Comprobaciones.

\;\vec u = (4,4,2)

\;\vec n = (2,-1,-2)

\vec u\cdot\vec n = 8-4-4 = 0 \;\checkmark

P(1,0,1)\in\pi: \ 2-0-2 = 0 \;\checkmark

(Y otro punto de $r$ , por ejemplo $(5,4,3)$ : $\;10-4-6 = 0$ $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Perpendicular $\Rightarrow$ director paralelo al normal (proporcionales). Contenida o paralela $\Rightarrow$ director perpendicular al normal (producto escalar cero). Es el intercambio que más confunde.

Para "contenida" no basta $\vec u\cdot\vec n = 0$ : eso solo da paralela. Hay que imponer además que un punto de la recta cumpla la ecuación del plano.

En a), calcula primero la razón de proporcionalidad con las componentes sin parámetro ( $\frac{4}{-1} = -4$ ) y despeja las otras dos. Es más rápido y menos propenso a errores.