Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ 3y+z = 3\end{cases}

y la recta

s

definida por

s \equiv \begin{cases} 2x-z = 3 \\ y = 0\end{cases}

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de

r

s

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general de un plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u_{r}} = (0,-1,3), \ A(0,0,3); \qquad \vec{u_{s}} = (1,0,2), \ B(2,0,1)\;}

\boxed{\;\det\bigl(\vec{u_{r}},\vec{u_{s}},\vec{AB}\bigr) = -6 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;\vec n = \vec{u_{s}}\times\vec{u_{r}} = (2,-3,-1)\;}

\boxed{\;\pi\colon 2x-3y-z-3 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Criterio del producto mixto: si los directores no son proporcionales, se calcula $\det\bigl(\vec{u_{r}},\vec{u_{s}},\vec{AB}\bigr)$ . Cero $\Rightarrow$ se cortan; distinto de cero $\Rightarrow$ se cruzan.
b) Plano por un punto de $s$ con dos direcciones: $\vec{u_{s}}$ (para contenerla) y $\vec{u_{r}}$ (para ser paralelo a $r$ ). Normal $=\vec{u_{s}}\times\vec{u_{r}}$ .

(Fíjate en que $r$ vive en el plano $x=0$ y $s$ en el plano $y=0$ : cada una es "plana" en un eje distinto.)

Desarrollo

El director de $r$ . Con

\vec{n_{1}} = (1,0,0)

\vec{n_{2}} = (0,3,1)

\vec{u_{r}} = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right| = (0,\, -1,\, 3)

Un punto: con

x = 0

y = 0

\;z = 3

, luego

A(0,\,0,\,3)

.

El director de $s$ . Con

\vec{m_{1}} = (2,0,-1)

\vec{m_{2}} = (0,1,0)

\vec{u_{s}} = \vec{m_{1}}\times\vec{m_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right| = (1,\, 0,\, 2)

Un punto: con

y = 0

z = 1

\;2x = 4 \Rightarrow x = 2

, luego

B(2,\,0,\,1)

.

a) La posición relativa.

¿Paralelas?

\;(0,-1,3)

(1,0,2)

no son proporcionales.

\vec{AB} = B-A = (2,\; 0,\; -2)

\det\bigl(\vec{u_{r}},\vec{u_{s}},\vec{AB}\bigr) = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2\end{vmatrix}

Desarrollando por la segunda columna (dos ceros):

= -(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2\end{vmatrix} = 1\,(-2-4) = -6 \neq 0

\textbf{Las rectas se cruzan}

b) El plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ .

\vec n = \vec{u_{s}}\times\vec{u_{r}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right|

\vec i: (0)(3)-(2)(-1) = 2 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(3)-(2)(0)\bigr] = -3 \qquad \vec k: (1)(-1)-(0)(0) = -1

\vec n = (2,\, -3,\, -1)

Con $B(2,0,1)$ :

2\,(x-2)-3\,(y-0)-1\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x-3y-z-3 = 0

Comprobaciones.

Otro punto de $s$ (con

z = -1

2x = 2 \Rightarrow x = 1

y = 0

), es decir

(1,0,-1)

2-0+1-3 = 0 \;\checkmark

El punto $A$ de $r$ :

\;0-0-3-3 = -6 \neq 0

\;\checkmark

(paralela, no contenida)

\vec n\cdot\vec{u_{r}} = 0+3-3 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El orden del estudio: ¿directores proporcionales? Si no, producto mixto con $\vec{AB}$ . Cero $\to$ se cortan; distinto de cero $\to$ se cruzan.

Desarrolla el determinante por la fila o columna con más ceros: aquí la segunda columna tiene dos y el cálculo se reduce a un menor $2\times2$ .

El plano de b) existe aunque las rectas se crucen: contiene a una y es paralelo a la otra. Es el plano que se usa para medir la distancia entre rectas que se cruzan.