Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2010 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta $r$ de ecuaciones

r \equiv \begin{cases} x-2y+11 = 0 \\ 2y+z-19 = 0\end{cases}

y contiene a la recta $s$ definida por

s \equiv \begin{cases} x = 1-5\lambda \\ y = -2+3\lambda \\ z = 2+2\lambda\end{cases}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-2,-1,2); \qquad \vec v = (-5,3,2), \ P(1,-2,2)\in s\;}

\boxed{\;\vec n = \vec v\times\vec u = (8,\, 6,\, 11)\;}

\boxed{\;8(x-1)+6(y+2)+11(z-2) = 0\;}

\boxed{\;\pi\colon 8x+6y+11z-18 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El plano queda determinado por:

un punto: cualquiera de $s$ (por ejemplo, el que sale con $\lambda = 0$ ),
dos direcciones: $\vec{v}$ , director de $s$ (para contenerla), y $\vec{u}$ , director de $r$ (para ser paralelo a ella).

\vec n = \vec v\times\vec u

Al final conviene comprobar que un punto de $r$ no cumple la ecuación: si la cumpliera, el plano contendría a

r

en vez de ser paralelo a ella.

Desarrollo

El director de $r$ . Los normales de sus dos planos son

\vec{n_{1}} = (1,-2,0)

\vec{n_{2}} = (0,2,1)

\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right|

\vec i: (-2)(1)-(0)(2) = -2 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(1)-(0)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (1)(2)-(-2)(0) = 2

\vec u = (-2,\, -1,\, 2)

Datos de $s$ . De las paramétricas:

\vec v = (-5,\, 3,\, 2) \qquad P(1,\,-2,\,2) \quad (\lambda = 0)

El normal del plano.

\vec n = \vec v\times\vec u = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -5 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 2\end{array}\right|

\vec i: (3)(2)-(2)(-1) = 8 \qquad \vec j: -\bigl[(-5)(2)-(2)(-2)\bigr] = 6 \qquad \vec k: (-5)(-1)-(3)(-2) = 11

\vec n = (8,\, 6,\, 11)

La ecuación del plano. Con

P(1,-2,2)

8\,(x-1)+6\,(y+2)+11\,(z-2) = 0

8x-8+6y+12+11z-22 = 0 \;\Longrightarrow\; 8x+6y+11z-18 = 0

Comprobaciones.

Otro punto de $s$ (con

\lambda=1

(-4,1,4)

-32+6+44-18 = 0 \;\checkmark

Un punto de $r$ . Con

y = 0

: de la primera,

x = -11

; de la segunda,

z = 19

. Es decir,

Q(-11,0,19)

8(-11)+0+11\cdot19-18 = -88+209-18 = 103 \neq 0 \;\checkmark

(Confirma que $r$ es paralela al plano y no está contenida en él.)

Y el paralelismo:

\;\vec n\cdot\vec u = -16-6+22 = 0

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Contiene a $s$ " y "es paralelo a $r$ " aportan dos direcciones al plano; el punto sale de $s$ . Es el esquema estándar de "plano por una recta y paralelo a otra".

Si $s$ viene en paramétricas, el director se lee de los coeficientes del parámetro y el punto, de los términos independientes: $\vec v = (-5,3,2)$ y $P(1,-2,2)$ .

Cierra con dos comprobaciones: un punto de $s$ cumple la ecuación (está contenida) y un punto de $r$ no la cumple (es paralela, no contenida).