Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sean los puntos

A(0,1,1)

B(2,1,3)

C(-1,2,0)

D(2,1,m)

.

a) [0,75 puntos] Calcula

m

para que

A

B

C

D

estén en un mismo plano.

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos

A

B

son simétricos.

c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices

A

B

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (2,0,2), \quad \vec{AC} = (-1,1,-1), \quad \vec{AB}\times\vec{AC} = (-2,0,2)\;}

\boxed{\;\text{a) } \bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 2m-6 = 0 \;\Longrightarrow\; m = 3\;}

\boxed{\;\text{b) Plano mediador: } M(1,1,2), \ \vec{n} = (1,0,1): \quad x+z-3 = 0\;}

\boxed{\;\text{c) Área}(ABC) = \tfrac12\lVert(-2,0,2)\rVert = \sqrt2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres herramientas distintas, una por apartado:

a) Cuatro puntos son coplanarios $\iff$ el producto mixto de los tres vectores que salen de uno de ellos es cero:

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 0

b) El plano respecto del cual $A$ y $B$ son simétricos es el plano mediador del segmento $\overline{AB}$ : pasa por el punto medio y tiene por normal el vector $\vec{AB}$ .

c) Área $= \frac12\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert$ — y el producto vectorial ya lo habremos calculado en a).

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (2,\, 0,\, 2) \qquad \vec{AC} = (-1,\, 1,\, -1) \qquad \vec{AD} = (2,\, 0,\, m-1)

El producto vectorial (sirve para a) y para c)).

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right|

\vec{i}: (0)(-1)-(2)(1) = -2 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(-1)-(2)(-1)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: (2)(1)-(0)(-1) = 2

\vec{AB}\times\vec{AC} = (-2,\, 0,\, 2)

a) Coplanariedad.

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \vec{AD}\cdot\bigl(\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr) = (2)(-2)+(0)(0)+(m-1)(2)

= -4+2m-2 = 2m-6 = 0 \;\Longrightarrow\; m = 3

(Con $m=3$ resulta $D(2,1,3) = B$ : los "cuatro" puntos son en realidad tres, y tres puntos siempre determinan un plano.)

b) El plano mediador de $\overline{AB}$ .

Punto medio:

M = \left(\frac{0+2}{2},\; \frac{1+1}{2},\; \frac{1+3}{2}\right) = (1,\, 1,\, 2)

Normal:

\;\vec{AB} = (2,0,2) \sim (1,0,1)

1\,(x-1)+0\,(y-1)+1\,(z-2) = 0 \;\Longrightarrow\; x+z-3 = 0

Comprobaciones.

\;M(1,1,2)

\;1+2-3 = 0\;\checkmark

. Y las distancias de

A

B

al plano:

\frac{\lvert 0+1-3\rvert}{\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} \qquad \frac{\lvert 2+3-3\rvert}{\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} \quad \checkmark

c) El área del triángulo $ABC$ .

\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr\rVert = \frac{1}{2}\sqrt{4+0+4} = \frac{\sqrt8}{2} = \sqrt2 \approx 1{,}41 \ \text{u}^{2}

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Consejo

"Estar en un mismo plano" se traduce por producto mixto nulo. Calcúlalo como $\vec{AD}\cdot(\vec{AB}\times\vec{AC})$ : así reaprovechas el producto vectorial en el apartado c) y te ahorras la mitad del trabajo.

"Plano respecto del cual $A$ y $B$ son simétricos" es el plano mediador: punto medio de $\overline{AB}$ y normal $\vec{AB}$ . No confundirlo con el plano que contiene a $A$ y $B$ , que sería otro y ni siquiera es único.

Puedes simplificar el vector normal dividiendo por un factor común ( $(2,0,2)\to(1,0,1)$ ): la ecuación del plano queda más limpia y es exactamente el mismo plano.